Согласованная фильтрация

Согласованным называется фильтр, импульсная переходная функция которого является зеркальным отображением импульса, для обнаружения которого он и предназначен. Такой фильтр «согласован» с ожидаемым сигналом и предназначается для обнаружения сигнала только заранее известной формы.

Предположим, что нужно на фоне помех обнаруживать сигнал:

Сигнал изображен на рис. 8. Пропустим этот сигнал через фильтр с импульсной переходной функцией:

.

Функция является зеркальным отображением подлежащего обнаружению сигнала относительно прямой, проведенной параллельно оси ОХ через точку с абсциссой .

Сигнал на выходе фильтра определяется как свертка зашумленного входного сигнала и импульсной переходной функции:

Два последние интеграла с точностью до постоянного множителя определяют значения автокорреляционной функции сигнала и взаимной корреляционной функции сигнала и шума, разделенных промежутком времени :

Но если сигнал и шум не коррелируют, то и в момент времени выходной сигнал фильтра должен достигать наибольшего значения, равного .

Рассмотрим пример построения согласованного фильтра.

Пример

На фоне шума нужно обнаружить сигнал прямоугольной формы

Согласованный фильтр должен обладать такой же импульсной переходной функцией:

Такую импульсную переходную функцию можно получить из двух функций единичного скачка в соответствии с рис. 9.

Передаточная функция фильтра получается преобразованием Лапласа импульсной переходной функции. Поэтому, отбрасывая постоянный множитель , получаем выражение:

Полученное выражение говорит о том, что фильтр, согласованный с прямоугольным импульсом длительностью , должен состоять из звена задержки на время и интегрирующего звена. Структурная схема фильтра представлена на рис. 10.

Дифференциальное уравнение, описывающее работу фильтра, получается непосредственно из его передаточной функции:

где - предполагаемая длительность импульса.

На рис. 11 представлена реализация зашумленного сигнала z(t), в котором предполагается наличие прямоугольного импульса протяженностью 0,1 с.

Для обнаружения прямоугольного импульса в содержимом такого сигнала следует пропустить такой сигнал через согласованный фильтр при времени задержки =0.1 с или решить приведенное выше дифференциальное уравнение:

График выходного сигнала фильтра y(t) представлен на рис. 12.

При отсутствии шума выходной сигнал имел бы вид, который можно получить решением того же дифференциального уравнения при подстановке вместо z(t) искомого сигнала x(t). Тогда на выходе фильтра получился бы сигнал, представленный на рис. 13.

Схожесть сигналов на рис. 12 и 13 говорит о том, что сигнал на рис. 11 действительно содержит в себе прямоугольный импульс протяженностью в 0,1 с.

На рис. 14 представлена форма сигнала на выходе того же фильтра при отсутствии прямоугольного импульса на фоне тех же шумов. Форма сигнала существенно отличается от той, что была изображена на рис. 13. Это и позволяет утверждать, что сигнал не обнаружен.