Оценка качества цифровых АС.
Анализ ЦАС как обычно сведем к оценке их устойчивости и качества, то есть к получению и анализу динамических характеристик ЦАС. Обычно ЦАС задана в виде своей Z -передаточной функции Ф(z) X(z)=F(z)×U(z)
и, следовательно, выходной сигнал ЦАС также задан своим изображе-
нием X(z).Возникает вопрос о нахождении оригинала функции x[k] по ее изображению X(Z).
12.1.Обратное Z-преобразование.
Рассмотрим возможные способы нахождения обратного z-преобразования в зависимости от вида изображения x(z).
1.Изображение X(z) задано в виде степенного ряда относительно переменной z-1
X(Z)=x0+x1z-1+x2z-2+...
Тогда, в соответствие с определением прямого z-преобразования, решетчатая функция x[k] имеет вид
x[k]=[x0,x1,x2,...]
Пример: x(z)=z-1+2z-3 x[k]=[0,1,0,2,0...]
2.Изображение x(z) задано в общем виде
Приравняем данную дробь бесконечному степенному ряду относительноz-1
Приведя данное уравнение к общему знаменателю, из условия равенства двух многочленов можно определить неизвестные параметры искомой решетчатой функции x[k]
Пример:
x[k]=[0,2,0,-2,...]
3.Недостатком предыдущего метода является то, что для определения любого члена решетчатой функции необходимо знать значения всех предыдущих членов, что не всегда удобно.
Рассмотрим метод, представляющий собой обобщение 2-й теоремы Хэвисайда (разложения) для дискретных систем и исключающий данный недостаток.
Пусть , m£n и корни Zi полинома
an+...+a0z-n простые (не кратные)
тогда
Если ½ziz-1½< 1 то каждое слогаемое под знаком å можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с общим знаменателем ziz-1, дополняющую на CiZ-1,то есть
Тогда можно записать
Приравниваем полученное выражение ряду относительно Z-1
откуда получаем
Пример: Вычислить x6 решетчатой функции x[k] по изображению
m = 1 n = 2 домножим на z2 (для удобства)
z1=+j
z2=-j
Тогда :
То есть не потребовалось определять предыдущих значений решетчатой функции.
12.2.Временные характеристики ЦАС.
По аналогии с непрерывными АС к временным характеристикам ЦАС будем относить весовую и переходную решетчатые функции - реакции на решетчатые единичные импульсную d[k] и ступенчатую 1[k] функции соответственно при нулевых начальных условиях.
Весовая функция : g[k]=[g0,g1,g2,...], G(z)=g0+g1z-1+...
Определение:
Следовательно Ф(Z)=g0+g1z-1+g2z-2+..., и по известной g[k] можно всегда определить z- передаточную функцию системы.
С другой стороны если известна весовая функция системы g[k] и входная решетчатая функция y[k], то
X(Z)=F(Z)×Y(Z)=G(Z)×Y(Z)=(g0+g1z-1+g2z-2+...)(y0+y1z-1+y2z-2+...)
или (x0+x1z-1+x2z-2+...)=g0y0+(g0y1+g1y0)z-1+(g0y2+g1y1+g2y0+...)z-1
Получаем
Данная формула является дискретным аналогом интеграла Дюамеля для ЦАС и позволяет определить выходную решетчатую функцию x[k] по известному входу и весовой функции.
Пример :F(z)=z-1, y[k]=1[k] , x10=?
G(z)=F(z)=z-1Þg[k]=[0,1,0,0,...]
тогда
Переходная функция: h[k]=[h0,h1,h2,...], H(z)=h0+h1z-1+...
h[k]- это реакция на единичную решетчатую функцию 1[k], поэтому используя дискретный аналог интеграла Дюамеля имеем
Получили известное соотношение, что переходная решетчатая функция есть сумма весовой и наоборот первая разность от переходной функции есть весовая функция
Ñh[k] = g[k]
12.3.Псевдочастотные характеристики цидоровых АС.
Пусть W(Z) - z -передаточная функция цидоровой АС. Напомним, что и переход к частотным характеристикам осуществляется заменой переменной Лапласа р на комплексную переменную jw, то есть АФЧХ ЦАС имеет вид .
Очевидно, что использование такого экспоненциального аргумента неудобно. Возникает вопрос, как обойти эту трудность?
Вновь рассмотрим v-преобразование или
То есть от передаточной функции W(Z) в пространстве Z мы перешли к передаточной функции W(v) в пространстве v. Попробуем определить частотные характеристики в новом пространстве.
где -называется
относительной псевдочастотной пространства v, а соответствующие характеристики W(jn)- псевдочастотными характеристиками ЦАС.
В диапазоне низких частот . Чтобы избавиться от зависимости относительной псевдочастоты n от периода квантования Т0, вводится понятие абсолютной псевдочастоты.
и в области низких частот
абсолютная псевдочастота l совпадает с истинной частотой w, следовательно и соответствующие частотные характеристики непрерывных W(jw) и цифровых W*(jl) АС в этой области совпадают. Область низких частот определяется условием
рад
Пример: Для БЦВМ ,,Орбита-20’’ тактовая частота
Тогда возможный диапазон частотных характеристик
То есть охватывается весь возможный диапазон авиационных АС!!!
12.4.Выбор периода квантования цифровых АС.
Очевидно задача анализа и синтеза ЦАС может быть решена если известен период квантования Т0 системы. Отсюда возникает естественный вопрос : каким образом задавать величину Т0. Этот вопрос является исключительно важным, особенно для систем управления летательными аппаратами, так как парамерт Т0 в основном определяет требования к быстродействию БЦВМ.
Один из важных подходов к решению этой задачи может быть предложен на основе рассмотренного выше перехода к псевдочастотным характеристикам. Условие эквивалентности частотных характеристик непрерывной и цифровой АС имеет вид
Если в качестве частоты w задать верхнюю границу полосы пропускания исследуемой или синтезируемой АС wP то тогда
Пример: Математическая модель короткопериодического движения маневренного самолета в боковом канале
Полоса пропускания апериодического звена
Тогда период квантования
Таким образом, Т0 следует выбирать из этого условия. При этом в пределах полосы пропускания АС для анализа ЦАС можно пользоваться характеристиками непрерывных систем.
Более общий подход к выбору величины Т0 основывается на выполнении условий теоремы Котельникова (Шенкона). Данная теорема определяет необходимые условия точного восстановления исходного непрерывного сигнала по его решетчатой функции.
|
Теорема: Для того, чтобы непрерывный сигнал x(t), разложение которого в ряд Фурье имеет ограниченный спектр (w£ wmax ) , можно было точно восстановить по его решетчатой функции x[kT0], необходимо, чтобы частота квантования w0=2pf0=1/T0 удовлетворяла условию w0>2wmax или T0< 1/2×wmax
Пример: Пусть x(t)=2sint; wmax=11/c, тогда Т0<1/2, возьмем Т0=с p/2
|
тогда x[k]=[2sinkT0]=[0,2×sinp/2,2sinp,...
Возьмем Т0=p[c] x[k]=[2sinkT0]=[0,0,0,...] k=0, k<1
|
12.5.Анализ качества ЦАС.
Анализ качества ЦАС будем проводить на примере следящих систем с ЦВМ в контуре управления. Для таких систем основополагающими понятиями качества являются: астатизм системы и ошибки в установившемся режиме.
Вспомним, что следящая АС называется астатической 1-го порядка, если она безошибочно отслеживает постоянный входной сигнал, математически это означает h[¥]=1
Воспользуемся предельной теоремой:
Таким образом, условие астатизма 1-го порядка следящей ЦАС
Ошибка в установившемся режиме очевидно равна E[¥]=1-h[¥]
С помощью переходной решетчатой функции можно оценить прямые показатели качества : перерегулирование, время регулирования, время срабатывания. Методика такой оценки будет подробно рассмотрена на практическом занятии.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Устойчивость ЦАС. Необходимые и достаточные условия устойчивости. | | | Статистическая динамика автоматических систем. |
Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 690;