Нахождение относительных сезонных колебаний

Год Номер месяца Yi (Тренд) Относительное сезонное колебание
34,8034 0,6034
  35,0506 0,7418
  35,2978 0,8216
  35,5450 0,9003
  35,7922 1,0617
  36,0394 1,0821
  36,2866 1,2126
  36,5338 1,3412
  36,7811 1,2506
  37,0283 1,1343
  37,2755 1,2341
  37,5227 1,2526
37,7699 0,6884
  38,0171 0,8417
  38,2643 0,8102
  38,5115 0,6492
  38,7587 1,0062
  39,0060 1,1024
  39,2532 1,1209
  39,5004 1,2405
  39,7476 1,3334
  39,9948 1,2502
  40,2420 1,2425
  40,4892 1,2102
40,7364 0,6873
  40,9837 0,7320
  41,2309 0,7034
  41,4781 0,7474
  41,7253 0,7430
  41,9725 0,9768
  42,2197 0,9474
  42,4669 1,1067
  42,7141 1,1472
  42,9613 1,0707

 

 

Рассмотрим способ вычисления относительной циклической составляющей путем нахождения сезонной волны.

Из выражения (2) при условии (3) получаем

(4)

Согласно полученному выражению (4) рассчитаем относительные значения циклических колебаний на всем временном интервале известных значений (Таблица 3).

И найдем сезонную волну как средние относительные значения циклических колебаний для выделенного периода (года), по формуле:

(5)

Где: m – число выделенных периодов.

И заполним таблицу (Таблица 4).

Таблица 4

Сезонная волна

Номер месяца Относительное суммарное сезонное колебание Относительная сезонная волна
1,979 0,6597
2,316 0,7718
2,335 0,7784
2,297 0,7656
2,811 0,9370
3,161 1,0538
3,281 1,0936
3,688 1,2295
3,731 1,2437
3,455 1,1517
2,477 1,2383
2,463 1,2314

 

Используем ряд Фурье в качестве аналитической модели сезонности. В этом виде уравнение ряда Фурье запишется следующим образом:

(6)

В этом уравнении величина определяет номер гармоники ряда Фурье. От числа учтенных гармоник зависит степень точности данной аналитической модели. Обычно используют от 1 до 4 гармоник в зависимости от необходимой точности и формы сезонной или циклической составляющей. Для отыскания параметров уравнения используется метод наименьших квадратов.

(7)

Найдя частные производные этой функции и приравняв их нулю, получим систему нормальных уравнений, решение которой дает сле­дующие формулы для вычисления параметров:

(8)

Как видно из формул, параметры уравнений зависят от значений у и связанных с ними последовательных значений cos(kti) и sin (kti.).

Для изучения сезонных колебаний на протяжении выбранного периода (года) необходимо взять n = 12 (по числу месяцев в году). Тогда, представляя периоды как части длины окружности, ряд динамики можно записать в следующем виде:

Таблица 4

Период
Уровень y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11

Величины периодов получаются следующим способом:

При , при и т.д.

При вычислении надо иметь в виду, что в четырех квадрантах от 0 до косинусы и синусы четыре раза принимают одни и те же абсолютные значения, а именно: 0; 0,5; 0,866; 1, взятые со знаком «плюс» или «минус». Вычисления синусов и косинусов разных гармоник приведены в табл. 5.

Таблица 5

t cos t cos 2t cos 3t cos 4t sin t sin 2t sin 3t sin 4t
0,866 0,5 -0,5 0,5 0,866 0,866
0,5 -0,5 -1 -0,5 0,866 0,866 -0,866
-1
-0,5 -0,5 -0,5 0,866 -0,866 0,866
-0,866 0,5 -0,5 0,5 -0,866 -0,866
-1 -1
-0,866 0,5 -0,5 -0,5 0,866 -1 0.866
-0,5 -0,5 -0,5 -0,866 0,866 -0,866
-1 -1
0,5 -0,5 -1 -0,5 -0,866 -0,866 0,866
0,866 0,5 -0,5 -0,5 -0,866 -1 -0,866

 

 

Вычисление синусов и косинусов годовой динамике t обозначает номер месяца. Для определения параметров ак и bк находят соответствующие уравнения для гармоники. Для первой гармоники, т.е. для , уравнение примет вид:

(9)

в котором параметры a0, a1 и b1, будут найдены из соотношений:

Уравнение модели с учетом только первой гармоники (рис. 9) будет иметь следующий вид:

Далее построим модель сезонной волны, применив первую и вторую гармоники ряда Фурье (табл. 6).

Таблица 6

Месяц t Относительное сезонное колебание у cos t у sin t y1 у cos 2t у sin 2t y2
Январь 0,6597 0,659704703 0,886459156 0,659704703 0,9930
Февраль 0,7718 0,66841076 0,38591845 0,789424278 0,385918453 0,66841076 0,9483
Март 0,7784 0,389182007 0,67406324 0,752262988 -0,38918201 0,674063236 0,9682
Апрель 0,7656 0,76560211 0,784925579 -0,76560211 1,0328
Май 0,9370 -0,468477138 0,8114024 0,878678534 -0,46847714 -0,8114024 1,0774
Июнь 1,0538 -0,912583347 0,5268957 1,008376002 0,526895697 -0,91258335 1,0575
Июль 1,0936 -1,093640386 1,139290247 1,093640386 0,9930
Август 1,2295 -1,064735531 -0,6147434 1,236325125 0,614743378 1,064735531 0,9483
Сентябрь 1,2437 -0,62186987 -1,0770786 1,273486414 -0,62186987 1,077078615 0,9682
Октябрь 1,1517 -1,1517203 1,240823824 -1,15172032 1,0328
Ноябрь 1,2383 0,619134436 -1,0723408 1,147070869 -0,61913444 -1,07234084 1,0774
Декабрь 1,2314 1,066381093 -0,6156935 1,0173734 0,615693472 -1,06638109 1,0575
Итого   12,1545 -0,758493273 -1,3676947 12,15449642 -0,11938979 -0,37841955 12,1545

 

Находим вторую гармонику Фурье:

,

Уравнение модели с двумя гармониками будет иметь следующий вид:

Таким образом, можно сказать, что мы нашли аналитическое выражение циклической (сезонной) составляющей Vt.

Итак, построим общую модель ряда представляющую произведение составляющих U и V без случайной компоненты, а именно:

Полученное уравнение — модель ряда yt, для которого известны составляющие Ut , Vt. Случайную составляющую Еt, можно получить следующим образом:

Поскольку , и , — известные величины, то найти Еt, нетрудно. Модель, учитывающая составляющие Ut, Vt, Et для данного ряда, может быть записана так:

График исходного динамического ряда, тренда и общей модели ряда у0 представлен на рис.3.

Исследуем качество модели. Так как методика оценки качества аналогична методике оценки качества линейной модели, подробно излагать ее не будем, а приведем лишь основные расчеты.

1. Проверка случайностей уровней на основе критерия поворотных точек.

= 23 — число поворотных точек (табл.7).

>Р- целая часть от

где п — число членов ряда.

Следовательно, >Р, так как 23 > 17, и свойство случайностей выполняется.

Таблица7








Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 762;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.023 сек.