Нахождение относительных сезонных колебаний

Год	Номер месяца	Yi	(Тренд)	Относительное сезонное колебание
			34,8034	0,6034
			35,0506	0,7418
			35,2978	0,8216
			35,5450	0,9003
			35,7922	1,0617
			36,0394	1,0821
			36,2866	1,2126
			36,5338	1,3412
			36,7811	1,2506
			37,0283	1,1343
			37,2755	1,2341
			37,5227	1,2526
			37,7699	0,6884
			38,0171	0,8417
			38,2643	0,8102
			38,5115	0,6492
			38,7587	1,0062
			39,0060	1,1024
			39,2532	1,1209
			39,5004	1,2405
			39,7476	1,3334
			39,9948	1,2502
			40,2420	1,2425
			40,4892	1,2102
			40,7364	0,6873
			40,9837	0,7320
			41,2309	0,7034
			41,4781	0,7474
			41,7253	0,7430
			41,9725	0,9768
			42,2197	0,9474
			42,4669	1,1067
			42,7141	1,1472
			42,9613	1,0707

Рассмотрим способ вычисления относительной циклической составляющей путем нахождения сезонной волны.

Из выражения (2) при условии (3) получаем

(4)

Согласно полученному выражению (4) рассчитаем относительные значения циклических колебаний на всем временном интервале известных значений (Таблица 3).

И найдем сезонную волну как средние относительные значения циклических колебаний для выделенного периода (года), по формуле:

(5)

Где: m – число выделенных периодов.

И заполним таблицу (Таблица 4).

Таблица 4

Сезонная волна

Используем ряд Фурье в качестве аналитической модели сезонности. В этом виде уравнение ряда Фурье запишется следующим образом:

(6)

В этом уравнении величина определяет номер гармоники ряда Фурье. От числа учтенных гармоник зависит степень точности данной аналитической модели. Обычно используют от 1 до 4 гармоник в зависимости от необходимой точности и формы сезонной или циклической составляющей. Для отыскания параметров уравнения используется метод наименьших квадратов.

(7)

Найдя частные производные этой функции и приравняв их нулю, получим систему нормальных уравнений, решение которой дает сле­дующие формулы для вычисления параметров:

(8)

Как видно из формул, параметры уравнений зависят от значений у и связанных с ними последовательных значений cos(kt_i) и sin (kt_i.).

Для изучения сезонных колебаний на протяжении выбранного периода (года) необходимо взять n = 12 (по числу месяцев в году). Тогда, представляя периоды как части длины окружности, ряд динамики можно записать в следующем виде:

Таблица 4

Период

Уровень

y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

y10

y11

Величины периодов получаются следующим способом:

При , при и т.д.

При вычислении надо иметь в виду, что в четырех квадрантах от 0 до косинусы и синусы четыре раза принимают одни и те же абсолютные значения, а именно: 0; 0,5; 0,866; 1, взятые со знаком «плюс» или «минус». Вычисления синусов и косинусов разных гармоник приведены в табл. 5.

Таблица 5

t	cos t	cos 2t	cos 3t	cos 4t	sin t	sin 2t	sin 3t	sin 4t
	0,866	0,5		-0,5	0,5	0,866		0,866
	0,5	-0,5	-1	-0,5	0,866	0,866		-0,866
		-1
	-0,5	-0,5		-0,5	0,866	-0,866		0,866
	-0,866	0,5		-0,5	0,5	-0,866		-0,866
	-1		-1
	-0,866	0,5		-0,5	-0,5	0,866	-1	0.866
	-0,5	-0,5		-0,5	-0,866	0,866		-0,866
		-1			-1
	0,5	-0,5	-1	-0,5	-0,866	-0,866		0,866
	0,866	0,5		-0,5	-0,5	-0,866	-1	-0,866

Вычисление синусов и косинусов годовой динамике t обозначает номер месяца. Для определения параметров а_к и b_к находят соответствующие уравнения для гармоники. Для первой гармоники, т.е. для , уравнение примет вид:

(9)

в котором параметры a0, a1 и b1, будут найдены из соотношений:

Уравнение модели с учетом только первой гармоники (рис. 9) будет иметь следующий вид:

Далее построим модель сезонной волны, применив первую и вторую гармоники ряда Фурье (табл. 6).

Таблица 6

Месяц	t	Относительное сезонное колебание	у cos t	у sin t	y1	у cos 2t	у sin 2t	y2
Январь		0,6597	0,659704703		0,886459156	0,659704703		0,9930
Февраль		0,7718	0,66841076	0,38591845	0,789424278	0,385918453	0,66841076	0,9483
Март		0,7784	0,389182007	0,67406324	0,752262988	-0,38918201	0,674063236	0,9682
Апрель		0,7656		0,76560211	0,784925579	-0,76560211		1,0328
Май		0,9370	-0,468477138	0,8114024	0,878678534	-0,46847714	-0,8114024	1,0774
Июнь		1,0538	-0,912583347	0,5268957	1,008376002	0,526895697	-0,91258335	1,0575
Июль		1,0936	-1,093640386		1,139290247	1,093640386		0,9930
Август		1,2295	-1,064735531	-0,6147434	1,236325125	0,614743378	1,064735531	0,9483
Сентябрь		1,2437	-0,62186987	-1,0770786	1,273486414	-0,62186987	1,077078615	0,9682
Октябрь		1,1517		-1,1517203	1,240823824	-1,15172032		1,0328
Ноябрь		1,2383	0,619134436	-1,0723408	1,147070869	-0,61913444	-1,07234084	1,0774
Декабрь		1,2314	1,066381093	-0,6156935	1,0173734	0,615693472	-1,06638109	1,0575
Итого		12,1545	-0,758493273	-1,3676947	12,15449642	-0,11938979	-0,37841955	12,1545

Находим вторую гармонику Фурье:

,

Уравнение модели с двумя гармониками будет иметь следующий вид:

Таким образом, можно сказать, что мы нашли аналитическое выражение циклической (сезонной) составляющей V_t.

Итак, построим общую модель ряда представляющую произведение составляющих U и V без случайной компоненты, а именно:

Полученное уравнение — модель ряда y_t, для которого известны составляющие U_t , V_t. Случайную составляющую Е_t, можно получить следующим образом:

Поскольку , и , — известные величины, то найти Еt, нетрудно. Модель, учитывающая составляющие U_t, V_t, E_t для данного ряда, может быть записана так:

График исходного динамического ряда, тренда и общей модели ряда у₀ представлен на рис.3.

Исследуем качество модели. Так как методика оценки качества аналогична методике оценки качества линейной модели, подробно излагать ее не будем, а приведем лишь основные расчеты.

1. Проверка случайностей уровней на основе критерия поворотных точек.

= 23 — число поворотных точек (табл.7).

>Р- целая часть от

где п — число членов ряда.

Следовательно, >Р, так как 23 > 17, и свойство случайностей выполняется.

Таблица7