Математическая модель реального импульсного элемента.

На вход импульсного элемента подается непрерывная величина, а на выходе возникает последовательность импульсов, форма которых может быть различной: прямоугольной, треугольной, экспоненциальной и т.д.

На рис. 17.8 показана немодулированная последовательность импульсов. Основные параметры этой последовательности: амплитуда импульса а, период повторения Т, длительность импульса t=gT, где g - скважность импульсов, представляющая собой отношение длительности импульса t к периоду Т.

Импульсный элемент можно представить в виде двух последовательно соединенных элементов: простейшего или идеального импульсного элемента и формирующего элемента (рис.17.9). Идеальный импульсный элемент преобразует непрерывный входной сигнал x в последовательность мгновенных импульсов (d-функций) х^*, площадь которых определяется значениями входного сигнала в соответствующие дискретные моменты времени, и изображается в виде ключа. Формирующий элемент представляет собой непрерывный фильтр, который преобразует мгновенные входные импульсы в импульсы заданной формы. Таким образом, форма импульсов реального импульсного элемента представляет собой импульсную переходную функцию формирующего элемента, поскольку на входе его действует последовательность d-функций х^* (рис. 17.10).

Рис. 17.10. Схема импульсной САУ с приведенной непрерывной частью

На основании рассмотренного схема с реальным импульсным элементом ИЭ и непрерывной частью (рис.17.10,а) может быть условно представлена в виде последовательного соединения идеального импульсного элемента (ключа) и приведенной непрерывной части, которая включает формирующий элемент и непрерывную часть системы (рис.17.10,б). Такой подход позволяет упростить исследование импульсных схем.

Математическая модель реального импульсного элемента. Рассмотрим свойства идеального импульсного элемента (рис. 17.9). Пусть x(t)– непрерывный входной сигнал, а x^*(t) – дискретный выходной сигнал идеального импульсного элемента, который по определению выражается так:

, (17.1)

где - последовательность единичных импульсов (d-функции) с периодом прерывания Т.

Представим в виде комплексного ряда Фурье

,

где - частота прерывания, - коэффициент ряда Фурье, которые определяются так:

.

Поскольку , то , и поэтому получаем

. (17.2)

Подставляя (17.2) в (17.1), находим

. (17.3)

Преобразуем по Лапласу полученное уравнение (17.3), выражающее связь входного и выходного сигналов идеального импульсного элемента

. (17.4)

На основании теоремы смещения уравнение (17.4) принимает вид

, (17.5)

где Х(р) – преобразование Лапласа от непрерывного сигнала. Уравнение (17.5) позволяет выразить дискретное преобразование Лапласа Х^*(р) через преобразование Лапласа от соответствующей непрерывной функции Х(р).

Функция является периодической функцией с периодом повторения , поэтому

, (17.6)

где k – целое число.

Рис. 17.11. Периодические свойства функции

Рис. 17.12. Перекрытие частотных спектров

Периодические свойства показаны на рис.17.11. Частотный спектр входного сигнала (рис.17.11,а) определяет в соответствии с (17.3), частотный спектр выходного сигнала идеального импульсного элемента (рис.17.11,б):

.

Выходной сигнал помимо основного спектра частот, совпадающего со спектром входного сигнала, содержит дополнительные спектры, сдвинутые на , где k – целое число. Амплитуда выходного сигнала, как это следует из (17.3), уменьшена по сравнению с амплитудой входного сигнала в раз.

Очевидно, основная составляющая выходного сигнала, имеющая одинаковый частотный спектр со входным, полностью определяет входное воздействие. Эта основная составляющая может быть выделена с помощью специальных фильтров и дать полную информацию о входном сигнале только в том случае, если ее частотный спектр не перекрыт спектрами дополнительных составляющих. В противном случае основная составляющая будет нести искаженную информацию о входном воздействии (рис.17.12).Теорема Котельникова устанавливает условие неискаженной передачи информации импульсным элементом. Это условие заключается в том, чтобы частота прерывания импульсного элемента, по крайней мере вдвое превышала максимальную частоту частотного спектра входного сигнала w_max.

Передаточные функции формирующих элементов.Определим передаточные функции формирующих элементов для прямоугольной и треугольной форм импульсов.

Аналитически прямоугольный и треугольный импульсы могут быть выражены следующим образом (рис.17.13).

Рис. 17.13. Прямоугольный и треугольный импульсы

Прямоугольный импульс (рис.17.13,а)

(17.7)

Треугольный импульс (рис.17.13,б)

(17.8)

Для определения соответствующих передаточных функций преобразуем по Лапласу уравнения (17.7) и (17.8)

, (17.9)

. (17.10)

Выражения (17.9) и (17.10) представляют собой передаточные функции формирующих элементов при амплитудно-импульсной модуляции для прямоугольной и треугольной форм импульсов.