Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил в балках

Для оценки прочности и жесткости изгибаемых элементов необходимо знать изменение изгибающего момента и поперечной силы по длине балки, а также их экстремальное значение. С этой целью строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил - представляют собой график, изображающий аналитическую зависимость M_x и Q_y по длине балки. Ординаты на эпюрах откладываются в масштабе или соразмерно их численным значениям.

Для определения M_x и Q_y в пределах каждого участка балки пользуются методом сечений.

Границами участков на балке являются точки приложения сосредоточенных сил и моментов, точки начала и конца действия распределенной нагрузки.

В пределах каждого участка проводим нормальное к оси балки сечение и рассматриваем в равновесии целиком правую или левую часть балки. Действие отброшенной части балки заменяем внутренними силовыми факторами, которые прикладываются в положительном направлении. Для рассматриваемой части составляем уравнения равновесия статики и находим M_x и Q_y, которые при этом считаются внешними силовыми факторами. На основании полученных аналитических зависимостей определяем значение M_x и Q_y в граничных и промежуточных точках, а затем строим эпюры.

На эпюре Q_y положительная ордината откладывается вверх, а на эпюре M_x вниз. Это связано с принятым правилом знаков. Принято говорить, что эпюра M_x строится со стороны растянутого волокна балки.

Пример 8.2.

Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки, нагруженной, как показано на рис. 8.11.

1. Определяем реакции в балке: R_a=4кН, R_c = 8 кН.

2. Балка имеет два участка АВ и ВС_.

3. Участок АВ. На расстоянии z₁ от точки А проводим сечение 1:1 и рассматриваем в равновесии левую часть балки. Сечение может быть проведено в любом месте между точками А и В. Следовательно,

0 ≤ z₁ ≥ 4

ΣF_y = 0 A – Q_y = 0 → Q_y = A = 4 кН

Пользуясь принятым правилом знаков, для поперечной силы можно записать

Q_y = A = 4 кН

Сила А приложена слева от сечения и направлена вверх.

ΣM_x = 0 Az – M_x = 0 → M_x = Az

В дальнейшем будем рассуждать так: момент в рассматриваемом сечении из условия равновесия левой части равен

M_x = Az.

Находим значения изгибающего момента в граничных точках участка:

M₀ = 0, M₄ = 4·4 = 16 кНм

Участок ВС. Проводим сечение 2:2 на расстоянии z₂ от точки С и рассматриваем в равновесии правую часть балки.

Q_y = – C = – 8кН, M_x = Cz → M₀ = 0, M₂ = 8·2 = 16 кНм

По найденным значениям M_x и Q_y строим соответствующие эпюры.

Пример 8.3.

Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки, нагруженной как показано на рис. 8.12.

1. Определяем опорные реакции балки:

ΣF_z = 0 → H = 0

Σm_c = 0, A·6 – q·4·4 = 0 → A = 8 кН

Σm_a = 0, C_c·6 – q·4·2 = 0 → C= 4 кН

ΣF_y = A – q·4 + B = 8 – 12 + 4 = 0

Реакции определены верно.

В дальнейшем будем полагать, что горизонтальная реакция при вертикальной нагрузке равна нулю и соответствующее уравнение для ее нахождения можно не записывать.

2. Балка имеет два участка АВ и ВС.

3. Участок АВ: 0 ≤ z₁ ≥ 4

Q_y = A – q·z₁ → Q₀ = A = 8 кН, Q₄ = 8 – 3·4 = – 4 кН

M_x = A·z₁ – q·z₁· = A·z₁ – → M₀ = 0, M₄ = 8 кНм

= A – q·z₁ =0 → z₁ = =2,66 м, М_2,66 = 10,67 кН

= – q кривая выпуклая

4. Участок ВС: 0 ≤ z₂ ≥ 2

Q_y = – С = – 4 кН

M_x = С·z₂ → M₀ = 0, M₂ = 4·2 = 8 кНм

По найденным значениям M_x и Q_y строим соответствующие эпюры.

Пример 8.4.

Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для консольной балки, нагруженной как показано на рис. 8.13.

При построении эпюр в консольной балке реакции в заделке можно не находить. В этом случае рассматривают равновесие части балки, расположенной со стороны ее свободного конца. Балка имеет два участка АВ и ВС.

I. Участок АВ: 0 ≤ z₁ ≥ 3

Q_y = – q·z₁ → Q₀ = 0, Q₃ = – 12 кН

M_x = M – q·z₁· = M – → M₀ = 6 кНм,

М₄ = – 6 кН

II. Участок ВС: 0 ≤ z₂ ≥ 1

Q_y = – q·3 + P = – 2 кН

M_x = M – q·3·(1,5 + z₂) + P·z₂ → M₀ = 12 кНм,

M₁ = – 14 кНм

По найденным значениям M_x и Q_y строим соответствующие эпюры.