Зависимость между моментами инерции при повороте осей координат

Пусть известны значения моментов инерции J_x, J_y, J_xy, относительно системы координат х и у. (рис.2.8). Повернем оси х и у в новое положение х₁ и у₁ на угол α против часовой стрелки относительно общего начала.

Требуется определить значения моментов инерции относительно новой системы координат х₁ и у₁. Как видно по рис 2.8, зависимости между координатами центра тяжести элементарной площадки dF для новой и исходной систем координатных осей, будут такими.

(а)

Выражения (2.5) и (2.6) для моментов инерции относительно осей х_{1 ,} у₁ можно представить таким образом

_:

.

После раскрытия скобок и учитывая, что интеграл суммы равен сумме интегралов, также зависимости (2.5) и (2.6) относительно исходных осей, получаем:

(2.18)

(2.19)

(2.20)

Пользуясь формулами (2.18), (2.19), 2.20), можно определять значения моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей х₁ и у₁, повернутых относительно осей х и у на угол α в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.

Складывая (2.18) и (2.19), получаем

, (б)

т.е. сумма осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей есть величина постоянная.