Сложение векторов и умножение на число.

В каждом классе векторов (например, перемещений, скоростей, сил, напряженности магнитного поля) можно определить операции, известные, как сложение векторов и умножение их на число.

Сложение производится либо, используя правило параллелограмма, либо – веревочного многоугольника.

Произведением вектора на число называется вектор , определяемый следующими условиями:

1).

2).

3). Векторы и одинаково направлены, если >0, и противоположно - если <0.

1). .

2). .

3). , где 0 - нулевой вектор.

4). , где - противоположный вектор, 0- нулевой.

5). , где , - числа.

6). .

7). .

8). .

Рассмотрим векторы на оси. Осью называется прямая на которой выбрано положительное направление. Численным значением вектора на оси называется число равное длине вектора, взятой со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если оно противоположно направлению оси. Величина вектора обозначается .

Пример.Пусть длина вектора | |=| |=5 . Найти величины этих векторов, если они расположены на оси l, как показано на рисунке 1.2.

= 5, =–5.

Рис. 1.2

Очевидно, что величина суммы двух и большего числа векторов на оси равна алгебраической сумме величин слагаемых векторов.

Пример.Найти величину суммы векторов и на оси, (рис.1.3) если | |=3, | |=5 .

Решение.

+ =3 + (–5)= –2.

Рис. 1.3

Имеет место утверждение: при любом расположении трех точек на оси величины векторов , и удовлетворяют соотношению + = (основное тождество).

Доказательство представлено на рис. 1.4, где показаны всевозможные случаи расположения трех точек A, B, C на оси l.

+ =

Рис. 1.4

Проекция вектора

Проекцией вектора на заданную ось lназывается численное значение вектора на оси l (рис. 1.5а).

Проекцией вектора на вектор называется проекция вектора на ось, имеющую с вектором одинаковое направление (рис. 1.5б).

Рис. 1.5а Рис. 1.5б

, где - угол между вектором и осью l.

Свойство проекций:

1) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов, т.е.

Пр_. Пр. + Пр. ;

2) проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию вектора , т.е. Пр_l Пр_l .