Понятие производной функции
Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Другими обозначениями производной могут быть .
Из определения производной следует, что производная функции в некоторой точке есть скорость её изменения в этой точке.
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.
Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей, проходящей через данную точку.
Геометрический смысл производной функции состоит в том, что производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от функции пути S(t) по времени t. В этом состоит механический смысл производной.
Экономический смысл производной состоит в том, что производная от функции u(t), выражающей количество произведённой продукции в момент времени t, равна производительности труда в этот момент времени.
На практике производные функций находят с помощью формул и правил. Основными формулами дифференцирования являются:
12 |
Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в некотором интервале (a,b). Справедливы следующие правила:
1) производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: ;
2) производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй: ;
3) постоянный множитель можно выносить за знак производной: ;
4) производная частного двух функций, если знаменатель не равен нулю, равен дроби, знаменатель которой есть квадрат прежнего знаменателя, а числитель равен произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя: .
Пример 11. Найти производные функций:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Решение. а)
;
б)
;
в) ;
г) =
.
Пусть функция имеет в некоторой точке х производную , а функция имеет в соответствующей точке производную . Тогда функция является сложной и её производная находится по правилу: производная сложной функции по основному аргументу равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по основному аргументу, т.е. .
Это правило распространяется на сложные функции, которые имеют любое конечное число промежуточных аргументов.
Пример 12. Найти производные функций: а) ;
б) ; в) .
Решение. а) Введём промежуточный аргумент . Тогда , , , .
б) Функцию можно записать в виде . Введём промежуточный аргумент , тогда . По формулам для производной сложной функции имеем:
.
в) Запишем функцию в виде . Введём промежуточные аргументы и . Тогда . Так как имеем два промежуточных аргумента, то
= . Таким образом, .
Дата добавления: 2015-12-10; просмотров: 774;