Кинематика плоскопараллельного движения твердого тела

Плоскопараллельным (плоским) движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех его точек лежат в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости П (рис. 2.2). При пересечении тела плоскостью хОу, параллельной этой плоскости, в его сечении получится какая-то плоская фигура S, которая будет перемещаться при движении тела, оставаясь все время в той же плоскости хОу. При таком движении все точки

Рис. 2.2. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела.

тела, лежащие на перпендикуляре Аа к плоскости фигуры, движутся совершенно одинаково, так же как и точка А этой фигуры. Все точки, расположенные на перпендикуляре Вв к плоскости фигуры, движутся так же, как и точка В этой фигуры, и т.д. (рис. 2.2). Поэтому для определения плоского движения тела достаточно знать движение этой фигуры в ее плоскости S.

Положение неизменяемой плоскости S вполне определяется положением двух произвольных ее точек А и В. Следовательно, изучение движения этой фигуры сводится к изучению движения прямолинейного отрезка АВ в плоскости этой фигуры. Положение этого отрезка определяется двумя координатами х_А и у_А точки А, называемой полюсом и углом j, который образует этот отрезок с некоторой осью неизменного направления, лежащей в плоскости данной фигуры (рис. 2.3). Таким образом, движение плоской фигуры в ее плоскости можно определить тремя уравнениями, из которых следует, что движение плоской фигуры можно разложить на два движения:1) поступательное движение вместе с полюсом А, определяемое уравнениями: x_A= х_A(t), y_A=y_A (t) и 2) вращательное движение вокруг полюса, определяемое уравнением: j =j(t).

Рис. 2.3. Положение отрезка АВ, с которым неизменно связана фигура S.

При этом угловая скорость вращательного движения не зависит от выбора полюса. Поэтому скорость любой точки В этой фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости точки В во вращательном движении вокруг него (рис. 16), т. е. = + , причем ^ АВ и = w×АВ. Отсюда следует теорема о проекциях скоростей точек плоской фигуры: проекции скоростей двух точек на ось h, проходящую через эти точки, равны между собой.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется такая точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю. Если известны скорость какой-либо точки А плоской фигуры и угловая скорость w этой фигуры, то, повернув вектор вокруг точки А на угол 90°в направлении вращения фигуры и отложив на этой полупрямой отрезок АР = /w, получим точку Р, которая является МЦС (рис. 2.4).

Если же известны направления скоростей двух точек плоской фигуры, то МЦС находят как точку пересечения перпендикуляров, восстановленных в этих точках к направлениям их скоростей. Если известны МЦСи угловая скорость фигуры, то вектор скорости любой точки В фигуры - ее скорость во вращательном движении вокруг МЦС - перпендикулярна к отрезку РВ и по модулю равен w×РВ. Отсюда следует, что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей, т. е.

Рис. 2.4. Определение мгновенного центра скоростей.

Отметим другие случаи нахождения положения МЦС, применяемые при решении задач. Если скорости точек А и В параллельны и АВ ^ , то для определения положения МЦС следует воспользоваться свойством пропорциональности скоростей расстояниям точек до МЦС (рис. 2.5 а и б). Если скорости и параллельны, но скорость неперпендикулярна отрезку АВ (рис.2.5 в ), то прямые Аа и Вв, перпендикулярные и , пересекаются в бесконечности и мгновенного центра скоростей не существует, и угловая скорость фигуры равна нулю (w =0). На основании теоремы о проекциях скоростей V_A×cosa =V_B×cosa, отсюда V_A=V_B и = , т.е. в данный момент времени скорости всех точек плоской фигуры равны по модулю и направлению.

При качении без скольжения одного тела по поверхности неподвижного другого (рис. 2.5 г) МЦС совпадает с точкой Р соприкосновения тел (так как при отсутствии скольжения скорость точки соприкосновения равна нулю).

Рис. 2.5. Методы нахождения положения МЦС, применяемые при решении задач.

Ускорение любой точки плоской фигуры можно определить как геометрическую сумму ускорений этой точки в поступательном движении вместе с некоторым полюсом и вращательным движением вокруг этого полюса. Если известны ускорение некоторой точки А фигуры (полюса), а также угловая скорость w и угловое ускорение e фигуры, то ускорение любой ее точки В определяется по формуле: = + = + + , где вектор - ускорение точки В во вращательном движении вокруг полюса А; и - нормальная и касательная составляющие этого вектора, которые вычисляются по формулам: = w²×АВ, =e×АВ. При этом вектор направлен вдоль отрезка ВА, а вектор перпендикулярен к ВА (рис. 2.6). Ускорение точки В можно определить, если спроецировать векторное равенство: = + + на оси х и у (см. рис. 2.6) и найти проекции этого ускорения: = – , = + . По проекциям находят модуль ускорения точки В по формуле: