Динамика твердого тела и механической системы

Все силы, действующие на механическую систему, разделяют на внешние и внутренние. Ко внешним силам относят активные (заданные) силы и реакции внешних связей. Ко внутренним силам относят реакции внутренних связей – силы взаимодействия между телами (точками), входящими в систему тел (точек). Свойство системы внутренних сил – их главный момент и главный вектор равны нулю ( ), ( ), так как все внутренние силы –силы действия и противодействия между отдельными телами (точками) системы, попарно равны по модулю и противоположны по направлению.
Центр масс системы материальных точек – точка, радиус-вектор которой

определяется уравнением: , где m_i и – масса и радиус-вектор i – ой точки механической системы (рис. 3.7а). В проекциях на оси декартовой системы координат, выражения для координат центра масс имеют вид: , ,

Рис. 3.7. Определение центра масс (а); возможные перемещения рычага (б).

Центр масс системы материальных точек движется как материальная точка с массой m равной массе всей системы (m = åm_i), к которой приложены все внешние силы ( ), действующие на систему, т.е. уравнение движения центра масс: или в проекциях на оси декартовой системы координат дифференциальные уравнения движения центра масс имеют вид: , , .

Импульс системы материальных точек – вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) импульсов всех материальных точек этой системы: , где – скорость движения центра масс. Производная от импульсасистемы материальных точек по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на все точки этой системы: или в проекциях на оси декартовой системы координат, получим: . В случае, когда или, выполняется закон сохранения импульса системы материальных точек в целом ( ) или ( ) – в проекции на ось x.

В векторной конечной форме теорема об изменении импульсасистемы материальных точек имеет вид: или или в проекциях на оси декартовой системы координат следует теорема об изменении импульса механической системы в аналитической форме: Р_Kx -Р _{H x} = åS_xj^вне , Р_Ky - Р_Hy = åS_yj^вне , Р_Kx - Р _{H z} = å S_zj^вне.

Момент импульса (кинетический момент) системы материальных точек относительно центра – вектор, равный геометрической сумме моментов импу-льса всех точек системы, взятых относительно этого центра: . Момент импульса (кинетический момент) системы материальных точек относительно оси – алгебраическая сумма моментов импульса всех точек системы, взятых относительно этой оси: L_z = å L_zi . Производная от момента импульса системы материальных точек относительно центра по времени равна равна главному моменту всех внешних сил, действующих на все точки этой системы, относительно того же центра: или в проекциях на оси декартовой системы координат: dL_x/dt = åM_x(F_i^вне), dL_y/dt=åM_y(F_i^вне) , dL_z/dt =åM_z(F_i^вне) – следует теорема об изменении момента импульса системы материальных точек, записанная в дифференциальной векторной и аналитической формах соответственно. В случае, когда или, например, åM_x(F_i^вне)=0, выполняется закон сохранения момента импульса системы материальных точек относительно центра ( ) или оси координат (L_x =const ).

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех ее частей (точек, тел): K=åK_i. Формулы для вычисления кинети-ческой энергии тела (для основных видов движения тел) приведены в таблице 1. Приращение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних сил, действующих на все точки (тела) этой системы, на данном перемещении: DK = åA_i^вне, где K_K,K_H – кинетическая энергия системы в конечном и начальном положениях.
Абсолютно твердое тело как система из бесконечно большого числа элементарных частиц (материальных точек), бесконечно малое расстояние между которыми всегда неизменно. Поэтому масса твердого – предельное значение суммы масс ее элементарных частиц: m = limåm_i.

Моментом инерции тела относительно оси называется величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равна сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от этой же оси.

, ,

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс в нем.

Моменты инерции о некоторых однородных тел простейшей формы ( начало координат располагается в центре масс).

1. Прямолинейный тонкий стержень длиной L, расположенный вдоль оси OZ: , .

2. Прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b и с, параллельными соответственно осям OX, OY и OZ:, ,

3. Полый прямой круглый цилиндр высотой H и радиусами внешней и внутренней поверхностей, равными R₁ и R₂; OZ – ось цилиндра: , .

4. Сплошной прямой круглый цилиндр высотой H и радиусом основания, равным R ; OZ – ось цилиндра: , .

5. Тонкостенный прямой круглый полый цилиндр высотой H и радиусом основания, равным R ; OZ – ось цилиндра: , .

6. Полый шар с радиусами внешней и внутренней поверхностей, равными R₁ и R₂: ;

7. Сплошной шар: ;

8. Тонкостенная сфера:

Радиус инерции тела – расстояние r_z от оси вращения z до точки, в которую должна быть сосредоточенна вся масса m тела, чтобы момент инерции этой точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела относительно этой оси: J_z =mr_z² = limåm_ir_i . Момент инерции тела J_oz относительно какой-либо оси oz равен сумме момента инерции J_cj тела относительно оси cj, проходящей через центр масс тела, и параллельной оси oz, и произведения массы m тела на квадрат кратчайшего расстояния a между осями: J_oz =J_cj +ma² – теорема о моментах инерции тела относительно параллельных осей (теорема Штейнера).

Решение ряда задач динамики системы, состоящей из твердых тел, предполагает приведение системы сил инерции, действующих на все частицы каждого тела, как правило, к центру масс каждого тела (или другому центру приведения, если это целесообразно). В результате приведения сил инерции к центру, к центру масс, система бесконечно большого числа элементарных сил такому инерции, действующих на все частицы тела, заменяется, в общем случае, одной силой, равной главному вектору сил инерции ( ) и приложенной в центре приведения (например в центре масс), и одной парой сил, с векторным моментом, равным главному моменту сил инерции, взятому относительно выбранного центра приведения .

Таблица 1

Формулы для кинетической энергии тела и работы внешних сил, действующих на тело, и дифференциальные уравнения основных видов движения

Параметры	Поступательное движение	Вращение вокруг оси	Плоское движение	Сферическое движение	Сложное движение в общем случае
Кинетическая энергия
Работа внешних сил
Дифференциальные уравнения движения