Классификация математических моделей

Математические модели можно классифицировать по следующим признакам:

· по времени, как постоянного или переменного параметра;

· по числу сторон, принимающих решения:

· по наличию или отсутствию случайных (или неопределенных) факторов;

· по виду критерия эффективности и наложенных ограничений.

В зависимости от способа учета изменения времени математические модели делятся на два типа: статические и динамические. Статическая модель — это модель, в которой время не является переменной. В динамической же модели одной из переменных является время.

Математические модели в зависимости от числа сторон, принимающих решение, можно разделить на два типа: описательные и нормативные. В описательной модели нет сторон, принимающих решения. Формально число таких сторон в описательной модели равно нулю. Типичным примером подобных моделей является модели систем массового обслуживания. Для построения описательных моделей может также использоваться теория надежности, теория графов, теория вероятностей, метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Для нормативной модели характерно множество сторон. Принципиально можно выделить два вида нормативных моделей: модели оптимизации и теоретико-игровые.

В моделях оптимизации основная задача выработки решений технически сводится к строгой максимизации или минимизации критерия эффективности, т.е. определяются такие значения управляемых переменных, при которых критерий эффективности достигает экстремального значения (максимума или минимума).

Для выработки решений, отображаемых моделями оптимизации, наряду с классическими и новыми вариационными методами (поиск экстремума) наиболее широко используются методы математического программирования (линейное, нелинейное, динамическое).

Для теоретико-игровой модели характерна множественность числа сторон (не менее двух). Если имеются две стороны с противоположными интересами, то используется теория игр, если число сторон более двух и между ними невозможны коалиции и компромиссы, то применяется теория бескоалиционных игр n лиц.

Математические модели в зависимости от наличия или отсутствия случайных (или неопределенных) факторов можно разделить на следующие типы.

Детерминированная модель строится в тех случаях, когда факторы, влияющие на исход операции, поддаются достаточно точному измерению или оценке, а случайные факторы либо отсутствуют, либо ими можно пренебречь.

В стохастических моделях реальность отображается как некоторый случайный процесс, ход и исход которого описывается теми или иными характеристиками случайных величин: математическими ожиданиями, дисперсиями, функциями распределения и т.д. Построение такой модели возможно, если имеется достаточный фактический материал для оценки необходимых вероятностных распределений или если теория рассматриваемого явления позволяет определить эти распределения теоретически (на основе формул теории вероятностей, предельных теорем и т.д.)

В теоретико-игровых моделях учитывается недостаточность информации о действиях противника и необходимость принимать решение в условиях неопределенности. Теоретико-игровой подход в том, по существу, и состоит, что выявляется наименее благоприятное вероятностное распределение значений неуправляемых переменных и определяется оптимальное действие в этих наименее благоприятных условиях.

Недостаток теоретико-игровой модели по сравнению со стохастической (точно так же, как и недостаток стохастической модели по сравнению с детерминированной) состоит в больших математических трудностях в теоретическом плане и в существенно большем объеме вычислительных работ в плане практическом.

Математические модели в зависимости от вида критерия эффективности и наложенных ограничений можно разделить на два типа: линейные и нелинейные. В линейных моделях критерий эффективности и наложенные ограничения являются линейными функциями переменных модели ( иначе нелинейные модели). Допущение о линейной зависимости критерия эффективности и совокупности наложенных ограничений от переменных модели на практике вполне приемлемо. Это позволяет для выработки решений использовать хорошо разработанный аппарат линейного программирования. Приведенная классификация математических моделей в определенной мере весьма условна и неполна.