Парный линейный корреляционно-регрессионный анализ

Основные положения парного линейного корреляционно-регрессионного анализа представлены на рисунке 16.

Рис. 16. Основные положения парного линейного КРА

Рассмотрим применение парного линейного корреляционно-регрессионного анализа. При линейном выражении зависимости между признаками и используется уравнение прямой:

(уравнение регрессии),

где – теоретические значения результативного признака;

х – индивидуальные значения факторного признака;

а₀, а₁ – параметры уравнения регрессии.

Для определения параметров уравнения прямой а₀ и а₁ на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

Для решения системы применяется способ определений, позволяющий сводить к минимуму неточности округлений в расчетах параметров уравнений регрессии:

,

где у – фактические (эмпирические) значения результативного признака;

n – количество единиц совокупности (то есть заданных пар значений х и у).

Подставляя в уравнение прямой найденные параметры а₀, а₁ и значения х, рассчитываем выровненные (теоретические значения) результативного показателя . В уравнении прямой параметр а₀ экономического смысла не имеет. Параметр а₁ является коэффициентом регрессии и показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу.

Часто исследуемые признаки имеют разные единицы измерения, поэтому для оценки влияния факторного признака на результативный рассчитывается коэффициент эластичности в среднем для всей совокупности:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак при увеличении факторного признака на 1%.

Для измерения тесноты связи между признаками применяются линейные коэффициенты корреляции и детерминации.

Линейный коэффициент корреляциивычисляется по формуле:

,

где значение r лежит в пределах от –1 до +1. При не существует линейной корреляционной связи. Степень тесноты линейной зависимости растет при приближении к (табл. 16).

Таблица 16

Оценка тесноты и направления связи

Линейный коэффициент детерминации (r²) – квадрат коэффициента корреляции, выраженный в процентах. Показывает, какая доля вариации результативного признака объясняется вариацией факторного.

Для проверки значимости уравнения регрессии рассчитывают F-критерий Фишера:

где n – число наблюдений;

m – число параметров.

Рассчитанное значение F-критериясравнивается с критическим (табличным) F_t с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (m-1), (n-m). Если рассчитанное значение F оказывается больше табличного, то уравнение регрессии признается значимым. В противном случае следует пересмотреть форму уравнения или перечень переменных.

Значимость коэффициента корреляции осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента, который рассчитывается по следующей формуле:

.

Рассчитанное значение t-критерия сравнивается с критическим (табличным) значением t-распределения Стьюдента с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (n-2). Если рассчитанное значение t оказывается больше табличного, то линейный коэффициент корреляции признается значимым. В противном случае следует увеличить количество наблюдений.