Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты

Часто в качестве параметров распределения вероятностей наблюдаемых значений признака рассматриваются моменты распределения (или функции от них). Моменты являются важными вероятностными характеристиками распределения.

Определяются два момента: начальный момент (а₁), который по сути является математическим ожиданием распределения, относительно которого вычисляется второй момент, называемый центральным моментом b₂, и по сути являющийся дисперсией.

Определение этих параметров аналогичны определениям соответствующих параметров теории вероятностей, но в отличие от них вычисляются по данным наблюдений.

Обычным эмпирическим моментом порядка k называют среднее значение k-х степеней разностей (x_i – C):

где x_i - значение (вариант) i-ой реализации наблюдаемой величины; m_i – частота реализации данного значения; n = ∑m_i - объем выборки, С – некоторое постоянное число, s – количество реализаций наблюдаемой величины.

Начальным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при С=0

В частности, при k=1 имеем

т.е. начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней (аналог математического ожидания)..

Центральным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при

В частности, при k=1 имеем (1*)

т.е. центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии (аналог дисперсии).

Центральные моменты легко выражаются через обычные :

(1**)

(1***)