Лекция 12. Переменный электрический ток.

§12 - 1Получение переменного тока.

Переменнвм током называется ток, направление которого периодичемки изменяется с течением времени. Основным устройством, которое используется для получения перемен-

Рис.28. Схема устройства электро- генератора.

ного тока, служит электрогенератор. Его дей-ствие основано на явлении электромагнитной индукции. Схема, поясняющая принцип ус-тройства электрогенератора, изображена на рис.28. Прямоугольная рамка помещается в зазор между полюсами магнита N и S так, что она может вращаться вокруг оси, проходящей через ее середину.Т.к. величины вектора маг-нитной индуцкии и площади рамки остаются постоянными, величина ЭДС электромагнит- ной индукции (см. прошлую лекцию) определяется выражением E = - ,

где a - угол между направлением магнитного поля В и нормалью к площади рамки S. На-правление тока в рамке в выбранный момент времени определяется по правилу правой руки. Нетрудно видеть, что направление токов в верхнем и нижнем проводниках противо-положны друг другу. Концы рамки подключаются к кольцам, которые, в свою очередь, с помощью скользящих контактов подсоединены к выходным клеммам генератора. В мощных генераторах рамка содержит несколько десятков или сотен витков, токи в ней достигают значительной величины, поэтому сама рамка делается неподвижной, чтобы избе-жать трущихся контактов, а магнитная система вращается вокруг рамки. Частота вращения является госудаоственным стандартом: в США это 60Гц , в Росси –50 Гц.

§ 12 –2 Квазистационарные токи.

Квазистационарным называется переменный ток, для которого в любой омент времени оказывается справедливым закон Ома, сформулированный ранее для постоянного тока. Это означает, что в неразветвленных цепях сила тока, проходящего через любой элемент цепи, в данный момент времени одинакова для всех элементов. Неквазистационарными токи становятся тогда, когда частота колебаний достигает очень больших значений – таких, что соответствующая им длина волны l = сТ, где с –скорость света, а Т –период колебаний, становится сравнимой с геометрическими размерами цепи. Например, для промышленного тока 50 Гц эта длина волны равна 6000 км.

В прошлом семестре было показано, что на длине волны амплитуды колебаний в разных точках пространства различны, изменяясь от максимума до нуля и нооборот через каждые l/4. Поэтому мгновеннве значения ока будут одинаковы тогда, когда l>> l , где l – длина цепи.

§ 12 –3 Закон Ома для переменного тока. Рассмотрим цепь, состоящую из омического соп-ротивления, катушки индуктивности и конденса-тора. Пусть все они соеденены друг с другом пос-ледовательно и подключены к источнику перемен-ного тока с ЭДС E (см. рис. 29). Формально эта цепь разомкнута, и ее концами являются обкладки конденсатора, поэтому длч нее можно написать закон Ома для участка цепи, содержащей ЭДС, по-

лагая, что условие квазистационарности выполнено. Тогда

E_k , ( ХХ)

где = U_C - напряжение на конденсаторе, а суммарная ЭДС складывается из ЭДС источника тока и ЭДС самоиндукции E_L :

E_k = E_L + E (t), E_L = - .

Обычно величину называют падением напряжения на индуктивности и обозна-чают U_L , т.е. U_L= , произведение IR =U_R –падением напряжения на сопротивлении. С учетом этого уравнение (ХХ) можно преобразовать:

U_R + U_L + U_C = E (t). (ХХХ)

Вспоминая, что и заменяя величины U_C и U_L , получим

E (t). (¨¨¨)

Предположим, что ток в нашей цепи изменяется по синусоидальному закону: I = I₀ sinwt.

Тогда U_R = I₀R sinwt , U_L = wLI₀ coswt = wLI₀ sin(wt -p/2),

= .

Эти соотношения должны быть спаведливыми в любой момент времени, поэтому они спра-ведливы и для амплитудных значений, т.е.
.

Трактуя эти равенства как закон Ома для участка цепи, можно заметить, что величины Z_L =wL и Z_C = аналогичны по своему значению сопротивлению R. Используя такую

интерпретацию, можно видеть, что уравнение (¨¨¨) приобретает тригонометрический смысл: напряжения на емкости и индуктивности оказываются сдвинутыми по фазе на ±p/2 относительно напряжения на сопротивлении R. Здесь удобнее использовать векторное представление колебаний, которое рассматривалось в прошлом семестре. Любое гармо-ническое колебание y(t) = Asin( wt + j) можно представить в векторном виде: длина вектора определяется амплитудой колебаний А, начальная фаза определяет угол отклонения вектора от горизональной оси, а w - частоту, с которой вектор вращается вокруг начала координат. В этом представлении напряжение на сопротивлении R изображается в виде горизонтально-

Рис.30. Векторная диаграмма для последовательной цепи.

го вектора (см. рис.30), а напряжения на емкости и индуктивности оказываются повернутыми относи-тельно него в разные стороны на 900 . В последова-тельной цепи действующее в ней общее напряжение складывается из падения напряжений на всех участ-ках. Поэтому оно может быть найдено как геомет-рическая сумма падения напряжений на индуктив-ности, емкости и сопротивления. Тогда согласно тео-реме Пифагора можно записать, что ,

или, выражая U_R , U_L и U_C через произведения тока на соответствующие сопротивления,

.

Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим:

. (·)

При выводе этого выражения учтено, что для последовательной цепи I_R = I_L= I_C =I. Полученное выражение по своей структуре аналогично закону Ома для цепи постоянного тока. Поэтому оно называется законом Ома для переменного тока. Важно отметить, что между током и напряжением существует сдвиг фаз, величина которого определяется из рис.30:

или .

§ 12 – 4 Мощность переменного тока.

Значение мгновенной мощности W определим по аналогии с законом Джоуля – Ленца для постоянного тока: W =IU = I₀U₀ sinwt sin(wt +j). Однако, с практической точки зрения более полезно вычислить среднюю мощность за единицу времени. Определим среднее значение за время одного колебания любой переменной величины y(t) как интеграл, средний за период: . Тогда =

=

+ = - +

+ .

Интегралы в последнем выражении все равны нулю, т.к. среднее значение за период лю-бой периодической величины равно нулю.Поэтому , где U_эфф= ; I_эфф = - так называемые эффективные значения напряжения и тока.

Формула мощности для переменного тока отличается от аналогичной формулы для постоянного тока лишь коэффициентом cosj , который принято называть коэффициентом мощности. Увеличение этого коэффициента является важной практической задачей. Там, где сдвиг фаз между током и напряжением достигает 90⁰ , средняя мощность оказывается равной нулю.