Теорема Кронекера-Капелли.

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ЗЛП в канонической форме

(1)

(2)

(3)

Теорема Кронекера-Капелли.

Система (2) имеет решение тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы:

, (4)

причём, если r=n, то система (2) имеет единственное решение,

если r<n, то система (2) имеет бесконечное множество решений.

Методом Гаусса среди n переменных можно выделить r базисных переменных и (n-r) свободных переменных, причём базисные переменные могут быть линейно выражены через свободные.

Предположим, что ранг матрицы равен числу уравнений (все условия линейно независимые):

.

Определение: Базисным (опорным) решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется решение, в котором все (n-m) свободные переменные равны нулю.

Оставшиеся m базисных переменных образуют базис.

Замечание. Выбор базисных и свободных переменных неоднозначен.

Всего существует базисных решений.

Учтем условие неотрицательности переменных.

Определение: Допустимым базисным решением (ДБР) системы (2) называется решение, удовлетворяющее условию неотрицательности (3).

Утверждение.

Допустимое решение ЗЛП является угловой точкой ОДР тогда и только тогда, когда это решение является допустимым базисным.