Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.
Возьмем в пространстве произвольную точку М(х, у, z). Первая координата х – абсцисса ‒ это проекция т. М на ось ОХ. Вторая у – ордината – это проекция т. М на ось ОУ. Третья z – аппликата – на ось OZ.
М |
α |
N |
Проекция т. М на α
Чтобы найти проекцию точки на прямую, нужно через точку провести плоскость перпендикулярно этой прямой.
p |
х |
z |
у |
О |
М (х, у, z) |
Определение: Вектор, соединяющий начало координат т. О с произвольной точкой пространства называется радиус- вектор этой точки.
Радиус- вектор т. М – ОМ.
Найдем координаты радиус-вектора ОМ:
ОА= xi, ОВ= yj, ОС= zk.
OM= OP+ PM= OA+ OB+ OC= xi+ yj+ zk= (x, y, z).
Вывод: координаты радиус-вектора точки совпадают с координатами самой точки ОМ= (x, y, z).
Вектор ОМ является диагональю параллелепипеда, по свойству диагоналей d2= a2+ b2+ c2 . Отсюда следует, что │ОМ│2= x2+ y2+ z2. Извлекая, квадратный корень получаем длину .
Возьмем две произвольные точки т. А(x1, y1, z1) и т. В (x2, y2, z2). Соединим АВ.
B |
А |
z |
х |
y |
O |
Вспомогательные векторы: ОА= (x1, y1, z1), ОВ= (x2, y2, z2).
АВ= ОВ - ОА= (x2, y2, z2)- (x1, y1, z1)= (x2- x1, , y2- y1, z2- z1).
Вывод: чтобы найти координаты вектора нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.
АВ= (x2- x1, , y2- y1, z2- z1).
Пример. Даны 3 точки т. А(2,-1,3), т. В(4,0,1), т. С(-1,2,1). Найти АВ и его длину │АВ│, m= AB- 2BC.
Проекция вектора на ось.
Определение: Проекцией вектора на ось называется число, модуль которого равен проекции на эту ось отрезка, задающего вектор, причем число берется со знаком «+», если координата конца вектора больше координаты начала вектора, и со знаком «-», если координата начала больше координаты конца.
Через т. А и т. В проведем плоскости перпендикулярныеоси l, и найдем точки пересечения плоскости с осью.
Перенесем вектор АВ в точку А1. А1В1(проекция)=АВ. Из прямоугольного треугольника следует, что проекция АВ на ось l будет равна:
│АВ│· cos φ= прl AB.
прl AB=│АВ│· cos φ, где φ - это угол между вектором и осью.
Возможны 3 случая:
1) Ðφ- острый, прl AB> 0, т.к. cos φ> 0.
l |
φ |
В |
А |
2) Ðφ- тупой, прl AB< 0, т.к. cos φ< 0.
A |
B |
φ |
l |
3) Ðφ= 90°, прl AB= 0, т.к. cos φ= 0.
A |
B |
φ |
l |
Теоремы о проекциях.
Теорема 1. прl(а + b)= прl a + прl b.
Теорема 2. прl (λа)= λ прl а.
Дата добавления: 2015-11-06; просмотров: 1204;