Теоремы о линейно зависимых системах векторов линейного пространства.

Теорема 1. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.

Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь вектор этой системы был линейной комбинацией всех остальных.

Док-во: Необходимость ( ).

Дана ЛЗ система. Нужно доказать, что один вектор ЛК всех остальных.

а1, а2, а3, … аn – ЛЗ система векторов, т.е. среди α1, α2 3 … αn существует число отличное от нуля так, что ЛК α1 а1+ α2 а23 а3+…+ αn аn= 0.

Положим для определения, что коэффициент α1 ≠ 0. Разделим обе части последнего равенства на α1 ≠ 0:

;

.

Отсюда следует, что а1 - ЛК остальных векторов.

Необходимость доказана.

Достаточность ( ).

Пусть один вектор – это линейная комбинация остальных. Нужно доказать, что система векторов ЛЗ.

Пусть αn = α1 а1+ α2 а23 а3+…+ αn-1 аn-1.

α1 а1+ α2 а23 а3+…+ αn-1 аn-1- 1αn = 0.

Так как есть не нулевой коэффициент, то система векторов а1, а2, а3, … аn- линейно зависима.

Ч.т.д.

Теорема 2. Система, содержащая нуль-вектор, линейна зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов, содержащую нуль-вектор. а1, а2, а3, … аn, где Ө ‒ нуль-вектор. Очевидно, что имеет место следующее равенство 0·а1+ 0· а2+0· а3+…+ 5·Ө = 0.

Есть не равный нулю коэффициент, равный 5, а линейная комбинация равна 0, отсюда следует, что система векторов ЛЗ.

Ч.т.д.

 

Теорема 3. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, тоже будет линейно зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов а1, а2, …,ак, ак+1 … аn, где а1, а2,…, ак - линейно зависимый кусочек. α1 а1+ α2 а2+ … +αкак= 0. Есть коэффициент отличный от нуля.

Очевидно, что с этими же коэффициентами будет выполняться равенство

α1 а1+ α2 а2+…+αк ак+…+0· ак+1+…+ 0·αn = 0.

Отсюда следует, что система векторов ЛЗ.

Ч.т.д.

 








Дата добавления: 2015-11-06; просмотров: 750;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.