Кто такие X, Y и Z?

Начнем рассуждать. Предположим, что X - лжец. Тогда суждение, которое высказывает X, ложно, и следовательно, Y - лжец, но тогда и его суждение ложно, а следовательно, в силу ложности импликации (см. таблицу истинности для импликации) получается, что X - рыцарь, а Z - лжец. Но из нашего предположения следует, что X - не рыцарь. Следовательно, мы получили противоречие. Получилось, что туземец X - одновременно рыцарь и не рыцарь. Следовательно, наше предполмжение неверно и X не является лжецом, т.е. он - рыцарь.

Теперь частично реконструируем ход нашего рассуждения.

Обозначим суждения:

"X - лжец" через р.

"X - рыцарь" через q.

"Y - лжец" через r.

Тогда получим следующее рассуждение:

1. Мы предположили, что X - лжец, т.е. р.

2. Далее по определению мы получили, что если X - лжец, то он

не рыцарь, т. е.

p .

3. Далее мы доказали, что если X - лжец, то Y - лжец, т.е.

p r.

4. Затем мы доказали, что если Y - лжец, то X - рыцарь, т.е.

r q.

5. Теперь из 3 и 4 мы можем получить при помощи чисто условного умозаключения, что если X - лжец, то X - рыцарь, т.е.

p q.

6. Но из 1 и 5, т.е. из того, что X - лжец, и того, что если X - лжец, то он рыцарь, мы можем при помощи условно-категорического умозаключения получить, что X - рыцарь:

p q, p|-q.

7. Но из 1 и 2, т.е. из того, что X - лжец и если X - лжец,

то X - не рыцарь, мы получим, что X - не рыцарь.

.

8. Таким образом, мы доказали, что X - одновременно рыцарь и не рыцарь, т.е. получили противоречие.

.

9. Противоречие означает, что наше предположение ложно, т.е. неверно, что X лжец, а следовательно, X - рыцарь.

Нетрудно заметить из нашего анализа, что на шаге 5 нашего рассуждения мы применили чисто условное умозаключение, а на шагах 6 и 7 мы применили умозаключение от утверждения основания к утверждению следствия.

Без этих умозаключений данное рассуждение проведено быть не могло, а значит эта задача осталась бы нерешенной.

Заметим, что в нашем первоначальном рассуждении эти шаги не фигурировали явно. Для того, чтобы заметить их, нам пришлось провести логический анализ рассуждения. Зачем? Мы знаем, что ошибки по большей части скрываются не в том, что высказано явно, а в том, что явно не сказано, что умалчивается при рассуждении.

Поэтому реконструкция рассуждений в таком более полном виде показывает нам, что может открыться в рассуждении внимательному уму и где возможны ошибки.

Мы уже убедились на примере из Макиавелли, что знание логических умозаключений позволяет нам анализировать неявную информацию, содержащуюся в тексте.

Умозаключение, похожее на чисто условное, возможно и для такой логической связи, как эквивалентность. Действительно, если в схеме чисто условного умозаключения заменить импликацию на эквивалентность, мы опять получим правильное умозаключение:

А В, В С |- А С.

Это умозаключение соответстаует известной вам арифметической аксиоме: если две величины порознь равны третьей, то они равны между собой.

((a=b) (b=с))|-(а = с)

§ 2. Разделительно-категорические умозаключения

Разделительно-категорические умозаключения широко применимы а научном и обычном мышлении, а также в ораторской практике.

Пример. Рассмотрим следующую ситуацию. На заседании совета директоров фирмы "Экалогика" генеральный директор произносит следующую фразу: "Нам предстоит согласиться на условия банка или стать банкротами. Но мы, ведь, не допустим банкротства". Ясно, что генеральный директор стремится убедить остальных в том, что совету следует принять условия банка. Как он это делает? Он ставит перед советом альтернативу, т.е. говорит о том, существует ровно две возможности, но одна из них явно неприемлема, следовательно, необходимо выбрать другую. Это и есть один из видов разделительно-категорических умозаключений.

Разделительно-категорическими умозаключениями называются умозаключения, в которых одна посылка - разделительное суждение, а другая посылка и заключение - суждения категорические.

Мы видим, что в речи нашего генерального директора сначала сформулировано разделительное суждение: "Нам предстоит согласиться на условия банка или стать банкротами", а затем высиазано категорическое[50] суждение "Мы не допустим банкротства". Заключение здесь опущено, но мы его легко реконструируем: "Нам предстоит согласиться на условия банка". Это означает, что схема разделительно-категорических умозаключений также живет в нашей душе, как и другие логические понятия и схемы. Мы ее сейчас только выявим и будем впредь относиться к ней сознательно.

Если обозначить суждение "Нам предстоит согласиться на условия банка" через р, суждение "Мы не допустим банкротства" через q, то получится сйедующее умозаключение:

p q, |- p.

Или, обобщая его до схемы умозаключения:

А В, |-А

Этот способ умозаключения называется отрицающе-утверждающим или по латыни modus tollendo ponens.

Обратите внимание, что в этом умозаключении и в его схеме фигурирует обычная дизъюнкция, обычное "или". Действительно, ведь если рассмотреть первую фразу нашего генерального директора изолированно, то может случиться и так, что фирма согласится на условия банка и при этом потерпит банкротство, т.е. два составляющих ее простых суждения окажутся истинными одновременно.

Вместе с тем эта схема умозаключения останется правильной и при использовании в ней строгой дизъюнкции:

А В, |-А.

Пример. Теперь рассмотрим ситуацию на митинге. Оратор, убеждая своих избирателей голосовать за его партию, говорит: "Либо мы победим, либо все пойдет ко всем чертям! Но мы победим!"

Конечно, он хочет навести своих слушателей на мысль о том, что в случае победы его партии, все не пойдет ко всем чертям, а, наоборот, будет благоденствие и процветание. Иначе говоря, пропущенное заключение будет следующим: "Все не пойдет ко всем чертям".

Здесь мы также сталкиваемся с разделительно-категорическим умозаключением, к существованию которого в душах слушателей и обращается оратор. Давайте реконструируем это рассуждение. Обозначим суждение "Мы победим" через р, суждение "Все пойдет ко всем чертям" - через q. Тогда рассуждение нашего оратора бсдет выглядеть следующим образом:

.

Или в более общей форме:

.

Этот способ умозаключения назовем способом утверждающе-отрицающим, или по-латыни - modus ponendo tollens.

Разделительно-категорические умозаключения широко применяются в практике рассуждений. Рассмотрим несколько примеров.

П р и м е р. В "Государе" Макиавелли встречается следующее рассуждение: "... войско, которым государь защищает свою страну, бывает либо собственным, либо союзническим, либо наемным, либо смешанным. Наемные и союзнические войска бесполезны и опасны".

Реконструируем это рассуждение. Макиавелли утверждает, что в принципе государь может защитить свою страну или при помощи собственных (р), или при помощи союзнических (q), или при помощи наемных (r), или при помощи смешанных (s) войск. Но при помощи наемных и союзнических государь не может защитить свою страну ( ). Следовательно, он может защитить свою страну только при помощи собственных или смешанных войск (p s).

Таким образом, наше рассуждение имеет следующую форму:

p q r s, |- p s.

Если же заменить наши суждения метапеременными, то мы увидим, что рассуждение проходило по нашей схеме разделительно-категорического умозаключения, способ отрицающе-утверждающий. Действительно, перегруппируем члены дизъюнкции p q r s как (p s) (q r) (смысл утверждения от этого не изменится), заменим суждение p s на А, а с суждением проведем следующую операцию: по одному из законов логики это суждение эквивалентно суждению , заменим в последнем суждении q r на В. В таком случае будет обозначаться как Тогда получится

А В, |-А

Макиавелли употребляет здесь именно разделительно-категорическое умозаключение, способ отрицающе-утверждающий.

Пример. В третьей речи против Филиппа Демосфен приводит следующее рассуждение: "... олинфянам он объявил..., что осталось одно из двух - либо им не жить в Олинфе, либо ему самому в Македонии". Очевидно, что Филипп собирается и далее жить в Македонии. Следовательно, он своим рассуждением дает понять, что олинфянам не жить в Олинфе. Обозначим "Вам жить в Олинфе" через р, "Мне жить в Македонии" - через q. Тогда рассуждение Филиппа предстанет в следующей форме:

.

Если заменить суждение q на эквивалентное ему суждение (с двумя отрицаниями над q), то несложно увидеть, что это - частный случай схемы

А В, |-А.

Разделительно-категорические умозаключения довольно просты, и, если ясна структура умозаключения, то ошибиться при их выполнении довольно трудно. Однако все же существуют два вида типичных ошибок.

а) Первая ошибка связана с тем, что в утверждающе-отрицающем способе вместо строгой дизъюнкции используется обычная дизъюнкция. Воспользуемся ранее приведенным примером: допустим, что наш генеральный директор, рассказывая о своей деятельности, говорит: "Мы должны были согласиться на условия банка или стать банкротами. Мы согласились на условия банка". Следует ли из этого, что они не стали банкротами, как хочет намекнуть генеральный директор? Ответ на этот вопрос вытекает из ответа на вопрос о том, какая у нас дизъюнкция в разделительной посылке. Если бы дизъюнкция была строгой, то умозаключение было бы правильным. Но в данном случае мы явно имеем дело с обычной (нестрогой) дизъюнкцией и поэтому обе альтернативы могут быть одновременно истинны, т.е. из того, что они согласились на условия банка, еще ничего не следует о том, потерпели они банкротство или нет.

б) Наиболее типичная ошибка в этих умозаключениях относится также к дизъюнкции, но не к типу дизъюнкции, а к перечню альтернатив. Это не логическая ошибка, но тем не менее весьма распространена в наших умозаключениях. Говоря языком традиционной логики, это – не формальная, а материальная (содержательная) ошибка.

Пример. Книги бывают научные или художественные. Эта книга - не художественная.

Следовательно, она научная.

Это умозаключение совершенно правильно. Однако его заключение может оказаться и ложным, поскольку первая посылка является ложным суждением. Кроме научных и художественных книг бывают еще и учебники. Это означает, что наше заключение может быть ложным, поскольку эта книга может быть не научной книгой, а учебником.

Название этой ошибки - неполный перечень альтернатив.

Из наличия этой ошибки вытекает следующее содержательное требование к разделительно-категорическим умозаключениям:

В разделительно-категорических умозаключениях в разделительной посылке должны быть перечислены все возможные альтернативы.

Несложно заметить, что это требование тесно связано с операцией деления. Если субъектом всех альтернатив разделительного суждения является одно и то же понятие, то такое разделительное суждение возникает в результате описания результата операции деления. А это означает, что в таком случае исчерпываемость альтернатив вытекает из правильности деления понятия, служащего субъектом наших альтернатив. Два правили деления - соразмерности и исключения – гарантируют[51] нам такую исчерпываемость.

Схематически ошибку "неполный перечень альтернатив" можно изобразить следующим образом:

А В( С), |- А( С),

где суждение в скобках означает пропущенную альтернативу.

§ 3. Условно-разделительные умозаключения

Анализ этого типа умозаключений начнем с текста уже знакомого нам Макиавелли: "... для того, кто призывает на помощь союзнические войска, они почти всегда опасны, ибо поражение их грозит государю гибелью, а победа - зависимостью".

В этом кратком тексте скрыты два умозаключения:

(1) Если союзнические войска потерпят поражение, то это грозит государству гибелью. Если союзнические войска победят, то это грозит государству зависимостью. Союзнические войска потерпят поражение или победят. Следовательно, они грозят государству гибелью или зависимостью.

(2) Если войска грозят гибелью, то они опасны для государя. Если войска грозят зависимостью, то они опасны для государя. Союзные войска грозят государю гибелью или зависимостью. Следовательно, они опасны для государя, который их призывает.

Мы видим, что в этих умозаключениях встречаются два типа суждений: условные и разделительные. Отсюда и название этих умозаключений.

Условно-pазделительными называются умозаключения, одна из посылок которых разделительное суждение, а остальные — условные суждения.

Еще одно название условно-pазделительных умозаключений — лемматические. Это название происходит от греческого слова lemma — предложение, предположение. Такое название основано на той характеристике этих умозаключений, что в них рассматриваются различные предположения и их следствия.