Задача сравнения исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.
Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению. На практике устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия с степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению . Т.к. является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, имеем нулевую гипотезу
.
Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, надо установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.
На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станков-автоматов, равная . Если найденная по выборке характеристика окажется значимо больше , то станок нуждается в наладке.
Критерием проверки нулевой гипотезы является случайная величина
.
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
Рассмотрим первый случай. Пусть нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят правостороннюю критическую область и требуют, чтобы выполнялось соотношение
.
Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Надо вычислить наблюдаемое значение критерия . Затем по таблице критических точек распределения (см. приложение 5), по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , найти критическую точку . В Microsoft Excel критическая точка находится следующим образом =ХИ2ОБР.
Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.
Пример 8. 3. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , приняв в качестве конкурирующей гипотезы .
Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:
.
Согласно конкурирующей гипотезе, критическая область является правосторонней. Из таблицы приложения 5 по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку . В Microsoft Excel получаем =ХИ2ОБР(14;0,01)=29,141. Т.к. , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией 14,9 и гипотетической генеральной дисперсией 14,1 – незначимое.
Рассмотрим теперь второй основной случай проверки гипотез. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят двустороннюю критическую область. При этом исходят из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости . Критические точки – левую и правую границы критической области – находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области была равна /2:
, .
В таблице критических точек распределения указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события и противоположны и, следовательно,
Отсюда
.
Т.е. левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна .
Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице найти левую критическую точку и правую критическую точку . Если окажется, что
,
то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если же окажется, что или , то нулевую гипотезу отвергают.
Пример 8. 4. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п=16 по ней найдена исправленная выборочная дисперсия . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , приняв в качестве конкурирующей .
Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:
Судя по конкурирующей гипотезе, критическая область будет двусторонней. По таблицам приложения 5 находим критические точки:
;
= .
Т.к. наблюдавшееся значение критерия принадлежит области принятия гипотез:
,
то нет оснований ее отвергать. Другими словами, исправленная выборочная дисперсия незначимо отличается от гипотетической генеральной дисперсии .
В третьем случае конкурирующая гипотеза имеет вид
.
При такой конкурирующей гипотезе находят критическую точку . Если окажется, что
,
то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противоположном случае ее отвергают.
Замечание 1. Если число степеней свободны , то критическую точку можно приближенно найти по равенству Уилсона-Гилферти
,
где zα определяют из равенства
используя таблицы интегральной функции Лапласа (приложение 2).
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 2775;