Задача сравнения исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению. На практике устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия с степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению . Т.к. является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, имеем нулевую гипотезу

.

Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, надо установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станков-автоматов, равная . Если найденная по выборке характеристика окажется значимо больше , то станок нуждается в наладке.

Критерием проверки нулевой гипотезы является случайная величина

.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Рассмотрим первый случай. Пусть нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят правостороннюю критическую область и требуют, чтобы выполнялось соотношение

.

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Надо вычислить наблюдаемое значение критерия . Затем по таблице критических точек распределения (см. приложение 5), по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , найти критическую точку . В Microsoft Excel критическая точка находится следующим образом =ХИ2ОБР.

Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Пример 8. 3. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , приняв в качестве конкурирующей гипотезы .

Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:

.

Согласно конкурирующей гипотезе, критическая область является правосторонней. Из таблицы приложения 5 по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку . В Microsoft Excel получаем =ХИ2ОБР(14;0,01)=29,141. Т.к. , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией 14,9 и гипотетической генеральной дисперсией 14,1 – незначимое.

Рассмотрим теперь второй основной случай проверки гипотез. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят двустороннюю критическую область. При этом исходят из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости . Критические точки – левую и правую границы критической области – находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области была равна /2:

, .

В таблице критических точек распределения указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события и противоположны и, следовательно,

Отсюда

.

Т.е. левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна .

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице найти левую критическую точку и правую критическую точку . Если окажется, что

,

то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если же окажется, что или , то нулевую гипотезу отвергают.

Пример 8. 4. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п=16 по ней найдена исправленная выборочная дисперсия . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , приняв в качестве конкурирующей .

Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:

Судя по конкурирующей гипотезе, критическая область будет двусторонней. По таблицам приложения 5 находим критические точки:

;

= .

Т.к. наблюдавшееся значение критерия принадлежит области принятия гипотез:

,

то нет оснований ее отвергать. Другими словами, исправленная выборочная дисперсия незначимо отличается от гипотетической генеральной дисперсии .

В третьем случае конкурирующая гипотеза имеет вид

.

При такой конкурирующей гипотезе находят критическую точку . Если окажется, что

,

то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противоположном случае ее отвергают.

Замечание 1. Если число степеней свободны , то критическую точку можно приближенно найти по равенству Уилсона-Гилферти

,

где zα определяют из равенства

используя таблицы интегральной функции Лапласа (приложение 2).








Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 2775;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.014 сек.