Задача сравнения исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению. На практике устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия с степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению . Т.к. является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, имеем нулевую гипотезу

Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, надо установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станков-автоматов, равная . Если найденная по выборке характеристика окажется значимо больше , то станок нуждается в наладке.

Критерием проверки нулевой гипотезы является случайная величина

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Рассмотрим первый случай. Пусть нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят правостороннюю критическую область и требуют, чтобы выполнялось соотношение

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Надо вычислить наблюдаемое значение критерия . Затем по таблице критических точек распределения (см. приложение 5), по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , найти критическую точку . В Microsoft Excel критическая точка находится следующим образом =ХИ2ОБР.

Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Пример 8. 3. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , приняв в качестве конкурирующей гипотезы .

Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:

Согласно конкурирующей гипотезе, критическая область является правосторонней. Из таблицы приложения 5 по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку . В Microsoft Excel получаем =ХИ2ОБР(14;0,01)=29,141. Т.к. , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией 14,9 и гипотетической генеральной дисперсией 14,1 – незначимое.

Рассмотрим теперь второй основной случай проверки гипотез. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят двустороннюю критическую область. При этом исходят из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости . Критические точки – левую и правую границы критической области – находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области была равна /2:

, .

В таблице критических точек распределения указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события и противоположны и, следовательно,

Отсюда

Т.е. левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна .

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице найти левую критическую точку и правую критическую точку . Если окажется, что

то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если же окажется, что или , то нулевую гипотезу отвергают.

Пример 8. 4. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п=16 по ней найдена исправленная выборочная дисперсия . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , приняв в качестве конкурирующей .