Тема 1.3 Непрерывность функции в точке.

Ø Функция f(x), определенная на промежутке (а;b), называется непрерывной в точке х_{0 ,} если:

1) существует предел ;

2) этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е.

Пример : Доказать непрерывность функции

f(x)=3х²+5х, в точке х=2.

Решение:

С другой стороны , значение функции в точке 2 тоже равно 17. Следовательно, равенство выполняется и данная функция непрерывна в точке х=2 .

Ø если существует, но функция не определена в точке х₀, то говорят, что х₀- точка устранимого разрыва. В этом случае можно доопределить функцию f(x) «по непрерывности», положив

.

Пример . Доопределить функцию

в точке х=2 по непрерывности.

Решение :

точка х=2 не принадлежит области определения данной функции, но

Доопределяя функцию f(x) в точке х=2 значением, равным, 4, получаем функцию

Которая на всей области определения исходной функции совпадает с исходной функцией и будет непрерывной на всей числовой оси.

Ответ : =4.

Упражнения :

№1

№2

№3

№4

№5

№6

Доопределить функции по непрерывности:

№1 в точке х=3.

№2 в точке х=0.

№3 в точке х=0.

Глава 2. Математический анализ.