Малюнок №16. Квадрати нульового рангу.

Означення: фігура F називається квадровною, якщо вона повністю покривається ступінчатою фігурою Ф, яка утворена з квадратів координатної сітки певного рангу, і якщо існує хоча б один, як завгодно малий квадрат покриття, який повністю складається з внутрішніх точок фігури F.

Якщо вимоги означення не будуть виконуватися, то, по-перше, фігура F не буде мати площі, по-друге, площа фігури F буде дорівнювати нулю.

Означення: ступінчату фігуру Ф, утворену з квадратів сітки і яка повністю покриває фігуру F, називають фігурою покриття Ф фігури F.

Всі квадрати фігури покриття Ф можна поділити на такі групи: 1) квадрати, утворені тільки внутрішніми і тільки точками контуру фігури F; 2) квадрати, які містять як внутрішні, так і зовнішні точки фігури F (фігури Ф і F представлені на малюнку № 17).

У наведених нами міркуваннях і означеннях застосовується термін “площа”, але його визначення відсутнє. Визначаючи поняття довжини, ми використовували її для характеристики лінійної протяжності. Поняття площі будемо використовувати для характеристики квадровності геометричних фігур. Так само, як і для довжини використаємо аксіоматичний підхід до введення поняття площі.

Означення: площею фігури називається невід’ємна скалярна величина, яка характеризує міру квадровності фігури та визначена для кожної фігури так, що виконуються наступні аксіоми:

1. У множині М геометричних фігур існує нульовий квадрат k₀ такий, що m(k₀)=0 (символічно ця аксіома запишеться так: ([($k₀єМ)(m(k₀)=0)]).

2. У множині М існує одиничний квадрат k такий, що m(k)=1, яким можна виміряти площу будь-якої фігури (символічно ця аксіома запишеться так: ([($kєМ)(m(k)=1)]).

3. Рівні фігури мають рівні площі (символічно ця аксіома запишеться так: ([("F,GєM)((F=G)↔ (m_k(F)=m_k(G))]).

4. Якщо фігура F складається із скінченного числа фігур F₁, F₂, F₃,...F_n, які не мають спільних внутрішніх точок, то площа фігури Fдорівнює сумі площ фігур F₁,F₂,F₃,...F_n (символічно: [("F,F₁,F₂,F₃,...,F_nєM)((F=F₁+F₂+F₃+...+F_n)↔ (m_k(F)=m_k(F₁)+m_k(F₂)+m_k(F₃)+...+m_k(F_n))]).

Ф У F

Х

У

О