Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.

4. Ми вже зазначали, що знаходити площу многокутників чи інших геометричних фігур безпосередньо (накладанням палетки) не завжди зручно і раціонально. Саме тому, в математиці виведені формули для знаходження площ окремих видів геометричних фігур. Щоб познайомитися з ними доведемо наступні теореми.

Теорема 3: площа кожного прямокутника дорівнює добутку довжин його суміжних сторін.

Доведення:

Нехай нам дано прямокутник АВСД. Виберемо систему координат так, щоб осі ОХ і ОУ проходили через суміжні сторони цього прямокутника (див. малюнок №18).

У

а

В

С

А

b

Д

Х

Малюнок № 18.

Провівши через точки поділу прямі, паралельні осям координат, ми отримаємо на площині ХОУ сітку квадратів нульового рангу. Нехай m_е(АВ)=а і m_е(АД)=b. Тоді на кожній стороні квадрата вміщуватиметься ціле число таких квадратів. Підрахувавши число квадратів, які покривають прямокутник АВСД, ми знайдемо площу прямокутника. Довжини сторін прямокутника АВСД можуть виражатися, по-перше, натуральними числами, по-друге, - довжина хоча б однієї із сторін прямокутника є раціональним числом, по-третє, - довжина хоча б однієї із сторін прямокутника є ірраціональним числом, тобто нескінченним неперіодичним десятковим дробом. У першому випадку число квадратів дорівнюватиме добутку чисел, які показують скільки одиничних відрізків вміщується у стороні. Отже, площа прямокутника в першому випадку дорівнює добутку довжин його суміжних сторін S=a×b.

Якщо довжина хоча б однієї сторони прямокутника виражається раціональним числом, то побудуємо на площині ХОУ координатну сітку квадратів відповідного рангу. В цьому випадку на кожній стороні прямокутника вміщуватиметься ціле число квадратів відповідного рангу. Підрахуємо число таких квадратів, а оскільки довжини сторін цього прямокутника будуть виражатися десятковими дробами, то в цьому випадку число квадратів покриття дорівнюватиме добутку довжин суміжних сторін. Для прикладу нехай а=3,25, b=7,56. Тоді S=3,25×7,56=24,57.

Нехай принаймні одна сторона прямокутника виражається ірраціональним числом, тобто нескінченним неперіодичним десятковим дробом. Тоді, якими б не були квадрати покриття певного рангу, принаймні на одній стороні прямокутника не вміщуватиметься їх ціле число. У цьому випадку число квадратів покриття доведеться підраховувати з недостачею, коли знайдемо число квадратів, які складаються тільки із внутрішніх точок прямокутника, або з надлишком – коли підрахуємо число квадратів певного рангу, які повністю покривають прямокутник АВСД. Якщо m_е(АВ)=a і m_е(АД)=b, то для знаходження площі прямокутника слід знайти добуток дійсних чисел, тобто S=a×b. Таким чином, теорему доведено повністю. Цілком зрозуміло, що ми для спрощення викладок лише описали доведення теореми в другому та третьому випадках.

Користуючись цієї теоремою виведемо формули для обчислення площі деяких геометричних фігур.

Теорема 4: площа прямокутного трикутника дорівнює півдобутку довжин його катетів.

Доведення:

А Д

С В

Малюнок № 19.

Нехай АВС (мал. №19) – прямокутний трикутник (ÐАСВ=90°), де m_е(АС)=а і m_е(СВ)=b. Добудуємо його до прямокутника, провівши через вершини А і В прямі, паралельні відповідно сторонам СВ і АС. Одержимо прямокутник АДВС, площа якого відповідно до попередньої теореми дорівнюватиме а×b. Оскільки DАДВ=DАВС, то 2S(DАВС)=S(АДВC). Отже, S(DАВС)=¹/₂S(АДВC)=¹/₂а×b. Теорему доведено.

Теорема 5: Площу будь-якого трикутника можна обчислювати за формулами: 1) S=¹/₂аh, де а – довжина основи, h – довжина висоти, опущеної на сторону а; 2) S=¹/₂аbsing, де а і b – довжини суміжних сторін трикутника, g - величина кута між цими сторонами; 3) S=Ö(p(p-a)(p-b)(p-c)), де а, b і с – довжини сторін трикутника, p=¹/₂(а+b+c).

Доведення:

Розглянемо трикутник АВС (див. мал. №20). Опустимо з вершини В висоту на сторону АС. Трикутник АВС розіб’ється на два прямокутних трикутника АВД і ВСД. Відповідно до аксіом площі S(DАВC)=S(DАВД)+S(DВСД).

Відповідно до попередньої теореми S(DАВД)=¹/₂АД×ВД, S(DВСД)=¹/₂СД×ВД. Тоді S(DАВС)= ¹/₂АД×ВД+¹/₂СД×ВД=¹/₂(АД+СД)×ВД=¹/₂СА×ВД. Якщо позначити сторону трикутника через а і висоту – через h, то матимемо S_D=¹/₂а×h. Першу формулу виведено.

Для виведення другої формули введемо такі позначення: АВ=с, ВС=а, АС=b, ÐВАС=a, ÐАВС=b і ÐВСА=g. Із трикутника АВД маємо: ВД:АВ=sina. Враховуючи наші позначення, маємо: S(DАВС)=¹/₂АС×ВД=¹/₂bсsina. Другу формулу виведено.

В

c а

А Д b С

Малюнок № 20.

Для виведення третьої формули пригадаємо відому із шкільного курсу математики теорему косинусів: c²=a²+b²-2abcosg. Звідси маємо: cosg=(a²+b²-c²):2ab. Для виведення формули Герона скористаємося формулою S_D=¹/₂аbsing. Із шкільного курсу математики відомо, що sin²g=1-cos²g.Звідси: sin²g=1-cos²g=(1-cosg)(1+cosg)=(1-((a²+b²-c²):2ab))(1+((a²+b²-c²):2ab))=((2ab-a²-b²+c²):2ab)((2ab+a²+b²-c²):2ab). Оскільки 2ab-a²-b²=-(a²-2ab+b²)=-(a-b)² і 2ab+a²+b²=(a+b)², то дужки матимуть вигляд: ((с²-(a-b)²):2ab)(((a+b)²-с²):2ab)=¹/₄а²b²(с-а+b)(с+а-b)(а+b+с)(а+b-с)=¹/₄а²b²(а+b+с)(а+b-с)(а+с-b)(b+с-а). Якщо позначити а+b+с=2p, то а+b-с=2р-2с, а+с-b=2р-2b і b+с-а=2р-2а. Отже, маємо sin²g=2р2(р-а)2(р-b)2(р-с)/¹/₄а²b². Звідси sing=4/2аbÖ(р(р-а)(р-b)(р-с)). Таким чином, S=¹/₂²/_аbаbÖ(р(р-а)(р-b)(р-с))=Ö(р(р-а)(р-b)(р-с)), де р=¹/₂(а+b+c). Третю формулу виведено.

Теорема 6: площа паралелограма обчислюється за формулами: 1) S=ah, де а – довжина сторони, h – довжина висоти, опущеної на цю сторону; 2) S=absina, де а і b – довжини суміжних сторін паралелограма, a - кут між цими сторонами; 3) S=¹/₂d₁d₂sing, де d₁ і d₂ – діагоналі паралелограма, g - кут між діагоналями.

Доведення:

Для виведення першої формули проведемо діагональ ВД і висоту ВК (див. мал. №21). Діагональ ВД поділяє паралелограм АВСД на два рівних трикутника (DАВД=DВСД). Тоді S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=2S(DАВД). Оскільки S(DАВД)=¹/₂АД×ВК, то S(АВСД)=2×¹/₂АД×ВК=АД×ВК. Позначивши АД=а, ВК=h, маємо S(АВСД)=а×h.

Для виведення другої формули врахуємо, що S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=2S(DАВД), АВ=а, АД=b і ÐВАД=a. Знайдемо ВК із DАВК. ВК:АВ=sina. Оскільки S(DАВД)=¹/₂АД×ВК=¹/₂АД×АВsina, то S(АВСД)=а×bsina. Другу формулу також виведено.

В С

а

А К b Д

Малюнок № 21.

Для виведення третьої формули проведемо у паралелограмі АВСД діагоналі АС=d₁, ВД=d₂ і позначимо ÐАОВ=g. Тоді ÐАОД=180°-g. S(АВСД)=2S(DАВД)=2S(DВОА)+2S(DАОД)=2¹/₂ВОАОsing+2¹/₂АООДsin(180°-g)=АО(ВОsing+ОДsin(180°-g)). Оскільки sin(180°-g)=sing, то S(АВСД)=АО(ВО+ОД)sing=АОВДsing=¹/₂АСВДsing. Врахувавши, що ВД=d₂ і АС=d₁, матимемо: S(АВСД)= ¹/₂АСВДsing=¹/₂d₁d₂. Теорему доведено повністю.

Теорема 7: Площа трапеції дорівнює добутку висоти на півсуму основ або обчислюється за формулами: 1) S=¹/₂(a+b)h, де a і b – основи трапеції, h – висота трапеції; 2) S=mh, де m=¹/₂(а+b). – середня ліній трапеції, h – висота трапеції.

Доведення:

Проведемо у трапеції АВСД (див. мал. № 22) діагональ ВД і висоту ВК. Тоді S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=¹/₂АД×ВК+¹/₂ВС×ВК=¹/₂ВК×(АД+ВС)= ½(а+b)×h=m×h. Теорему доведено.

В а С

А К b Д

Малюнок № 22.

У практичній діяльності та в математиці доводиться досить часто знаходити не лише площі плоских фігур, але й площі поверхонь геометричних тіл. Нагадаємо, площею поверхні многогранника називають суму площ усіх його граней. Із шкільного курсу геометрії відомі наступні теореми та формули для їх знаходження:

1) площа бічної поверхні довільної призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу призми на її бічне ребро;

2) площа повної поверхні довільної призми дорівнює сумі її бічної поверхні та площ основ;

3) площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на довжину бічного ребра;

4) площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра її основи на довжину апофеми;

5) площа повної поверхні правильної піраміди дорівнює сумі площі її бічної поверхні та площі основи;

6) площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту, тобто S_б.ц.=2pRH;

7) площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі її бічної поверхні та площ його основ, тобто S_п.ц.=2pRH+2pR²=2pR(H+R);

8) площа бічної поверхні конуса дорівнює половині добутку довжини кола його основи на довжину твірної, тобто S_б.к.=pRl;

9) площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі його бічної поверхні та площі його основи, тобто S_п.к.=pRl+pR²=pR(l+R);

10) площа поверхні кулі дорівнює почетвереній площі її великого круга, тобто S_кулі=4pR²;