Квадратична функція, її властивості та графік.

5. Означення: функція виду y=ax²+bx+c, a,b,cєR, a≠0 називається квадратичною функцією.

Областю визначення квадратичної функції є множина всіх дійсних чисел, бо для знаходження значення функції за заданим значенням аргументу необхідно виконати дії додавання і множення, які в множині дійсних чисел завжди виконуються. Функція не відноситься ні до парних, ні до непарних, бо y(-x)=a(-x)²+b(-x)+c=ax²-bx+c=-(-ax²+bx-c), тобто не виконується жодна з рівностей f(-х)=f(х) чи f(-х)= -f(х).

Знайдемо проміжки монотонності функції, виділивши попередньо повний квадрат: . Якщо a>0, то функція спадає на проміжку , а зростає на . Якщо a<0, то функція зростає на проміжку , а спадає на . При a>0 функція має найменше значення , при . При a<0 функція має найбільше значення при , що дорівнює . Графіком функції є парабола, вітки якої при a>0 напрямлені вверх, а при a<0 – вниз. Множиною значень функції при a>0 є проміжок , а при a<0 - .

6*. Операції над функціями та графіками, перетворення графіків.

6*. У математиці досить часто доводиться розв’язувати питання про те, які ж операції можна виконувати над функціями, як при цьому зміниться область визначення D(f) функції, як побудувати графік нової функції. Для того, щоб знайти відповіді на поставлені запитання, розглянемо кілька нових понять.

Означення: сумою функцій f і g називають функцію f+g, яка визначена на множині D(f+g)=D(f)ÇD(g) та для якої виконується умова, що для будь-якого хєD(f+g) справедлива рівність [f+g](x)=f(x)+g(x).

Означення: добутком функцій f і g називають функцію f•g, яка визначена на множині D(f•g)=D(f)ÇD(g) та для якої виконується умова, що для будь-якого хєD(f•g) справедлива рівність f•g(x)=f(x)•g(x).

Для того, щоб одержати функції f+g чи f•g, якщо вони задані аналітично, слід додати чи помножити праві частини функцій. Проілюструємо це на конкретному прикладі.

Вправа:знайти суму та добуток даних функцій y₁=x³+3, хє[0;3] і у₂=3х+2, хє[0;6].

Розв’язання.

Спочатку знайдемо області визначення суми та добутку функцій. За означенням суми та добутку функцій D(f+g)=[0;3] і D(f•g)=[0;3]. Отже, y₁+y₂=x³+3+3х+2= x³+3х+5, а y₁•y₂=(x³+3)(3х+2)=3x⁴+2x³+9х+6, де хє[0;3].

Цілком зрозуміло, що операцію утворення з двох даних функцій їх суми чи добутку слід називати відповідно додаванням чи множенням функцій. При знаходження суми чи добутку функцій кількість доданків чи множників може бути як завгодно великою, але скінченною. Для того, щоб побудувати графік функції, яка є сумою двох функцій, необхідно додати відповідні ординати, а при побудові графіка добутку двох функцій – відповідні ординати слід перемножити. Покажемо це на конкретному прикладі.

Вправа: побудувати графік функцій: а) у=х+│х│; б) у=х•│х│.

Розв’язання.

У системі координат будуємо графіки двох функцій: у₁=х і у₂=│х│. Після цього слід відповідно до означення додати відповідні ординати. Щоб це було легше зробити, використаємо означення модуля. Отже, розглянемо два випадки: 1) х≥0; 2) х<0. У першому випадку у₁+у₂=х+х=2х. Це означає, що на проміжку [0;+∞) графіком суми функцій буде пряма у=2х. Якщо х<0, то у₁+у₂=х+(-х)=х-х=0. Це означає, що на проміжку (-∞;0) графіком суми функцій буде пряма у=0. Як відомо, це вісь абсцис. Таким чином, графік функції у=х+│х│ складається з двох променів із спільним початком в точці з координатами О(0;0). Міркуючи аналогічно, можна прийти до висновку, що графік функції у=х•│х│ також складатиметься з двох частин: при х≥0 маємо у₁•у₂=х•х=х²; при х<0 будемо мати у₁•у₂=х•(-х)= -х². Таким чином, при х≥0 графіком функції у=х•│х│ буде вітка параболи у=х², а при х<0 – вітка параболи у=-х². Пропонуємо студентам виконати відповідні побудови самостійно.

Цілком зрозуміло, що будувати графіки саме таким способом не завжди зручно. Саме тому в математиці сформульовані та доведені твердження, які надають можливість значно спростити відшукання відповіді на запитання: що ж будує графіком функції? Наприклад, як побудувати графік функції у=Af(ax+b)+B, де A, B, a, b – сталі, причому А≠0 і а≠0. Щоб дати відповідь на це запитання сформулюємо і приймемо без доведення наступні леми та наслідки з них.

Лема 1: графік функції g(x), що визначається рівністю g(x)=f(x-α)+β, де (x-α)єD(f), а α і β – сталі, утворюється з графіка функції f паралельним перенесенням, при якому початок координат О(0;0) переходить в точку О′(α;β).

Звернемо увагу на те, що при практичному використанні леми 1 діють інакше: через точку О′(α;β) проводять допоміжні осі координат О′х′ і О′у′. У системі координат х′О′у′ будують графік у′=f(х′). Цей графік відносно системи координат хОу і є графіком функції g(x)=f(x-α)+β.

Лема 2: графік функції , де , а - сталі, утворюється з графіка функції f розтягом від осі абсцис з коефіцієнтом і наступним розтягом від осі ординат з коефіцієнтом k.

Із лем 1 і 2 випливають наступні наслідки.

Наслідок 1: графік функції g, що визначається рівністю де , утворюється з графіка функції f перетворенням симетрії відносно осі абсцис.

Наслідок 2: графік функції g, що визначається рівністю дн , утворюється з графіка функції f перетворенням симетрії відносно осі ординат.

Наслідок 3: графік функції g, що визначається рівністю де , утворюється з графіка функції f перетворенням симетрії відносно початку координат, тобто послідовного виконання перетворень симетрії відносно осей координат.

Користуючись лемами 1 і 2 та наслідками, розглянемо алгоритм побудови графіка функції , якщо відомо графік функції . Для цього перетворимо функцію: у виразі ах+b винесемо за дужки число а, тоді отримаємо . Позначимо , а тоді у=Аf(a(x-α))+B. Отже, щоб побудувати графік функції за графіком функції потрібно:

1) перетворити задану функцію до вигляду лем 1 і 2, тобто до виду у=Аf(a(x-α))+B;

2) у системі координат хОу через точку проводимо допоміжні осі координат і ;

3) у системі координат будуємо графік функції як результат розтягу графіка функції від осі абсцис з коефіцієнтом А і наступного розтягу від осі ординат з коефіцієнтом . Побудований графік є шуканим. Проілюструємо сказане на наступних прикладах.

Вправа 1: побудувати графік функції .

Розв’язання.

1) перетворимо задану функцію до вигляду ;

2) з’ясуємо чому дорівнюють . Оскільки , то графік функції слід будувати, перетворюючи графік . Графіком цієї функції є гіпербола;

3) оскільки де , то будуємо систему координат хОу;

4) у системі координат хОу через точку О′(-5;2) проводимо допоміжні осі координат О′х′ і О′у′;

5) у системі координат х′О′у′ будуємо спочатку графік функції ;

6) у системі координат х′О′у′ будуємо графік функції як результат симетрії графіка функції відносно осі абсцис;

7) у системі координат х′О′у′ будуємо графік функції як результат розтягу графіка функції відносно осі ординат;

8) побудована лінія відносно системи координат хОу є шуканим графіком. Цей графік є також гіперболою.

Вправа 2: побудувати графік функції .

Розв’язання.

1) перетворимо задану функцію до вигляду

;

2) з’ясуємо чому дорівнюють . Оскільки f(x)=x², А=-2, В= , а=1, b= , то графік функції слід будувати, перетворюючи графік f(x)=x². Графіком цієї функції з парабола;

3) оскільки , де А=-2, В= , а=1, b= , то будуємо систему координат хОу;

4) у системі координат хОу через точку О′( ; ) проводимо допоміжні осі координат О′х′ і О′у′;

5) у системі координат х′О′у′ будуємо спочатку графік функції у=x²;

6) у системі координат х′О′у′ будуємо графік функції у′=-x′², як результат симетрії графіка функції у′=x′² відносно осі абсцис;

7) у системі координат х′О′у′ будуємо графік функції у′=-2x′², як результат розтягу графіка функції у′=-x′² відносно осі ординат;

8) побудована лінія відносно системи координат хОу є шуканим графіком. Цей графік є також параболою.

Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів.

1. Довести по аналогії з властивістю 6, властивості 7 і 8 числових нерівностей.

2. Довести тотожність (а-b)²=а²-2аb+b².

3. Довести тотожність а²-b²=(а-b)(а+b).

4. Довести тотожність (а-b)³=а³-3а²b+3аb²-b³.

5. Довести тотожність а³+b³=(а+b)(а²-аb+b²).

6. Довести теорему 2 про рівносильність рівнянь.

7. Знайти множину допустимих значень змінної та множину розв’язків кожного із рівнянь: а) ; б) .

8. Довести теореми про рівносильність рівнянь з двома змінними.

9. Знайти центр і радіус кола, заданого рівнянням .

10. Записати рівняння кола, яке проходить через точки та , і має радіус 12.

11. Центр кола знаходиться в точці і має радіус 7. Записати його рівняння.

12. Довести теорему 2 про рівносильність нерівностей.

13. Побудувати, заштрихувавши відповідну частину координатної площини, множини розв’язків нерівностей: х<а, х≤а, у>а, у≥а, у<а, у≤а, y≤kx+b,y³kx+b, (х-а)²+(у-b)²<R², (х-а)²+(у-b)²>R², (х-а)²+(у-b)²≤R², (х-а)²+(у-b)²≥R².

14. Дослідити функцію y=x²-5x+6 та побудувати графік.

15. Побудувати графік функцій: а) у=х+│х│; б) у=х•│х│.