Перестановки з повтореннями та без повторення. 1 страница

3.Розглянемо множину M={a₁,a₂,a₃,...,a_n}. Розглянемо над цією множиною кортеж довжини k, де k=k₁+k₂+k₃+...+k_n, причому елемент a₁ - повторюється k₁ раз; елемент a₂ повторюється k₂раз; елемент a₃ - k₃ раз; нарешті, елемент a_n- k_n разів. У комбінаториці такі кортежі називають перестановками з повтореннями, а їх число позначають символом Pk₁,k_2,k_3,…k_ni читають: число перестановок з повтореннями, в якій перший елемент повторюється k₁ раз, другий - k₂, третій - k₃, n-ий - k_n раз.

Означення: будь-який кортеж довжини k, де k=k₁+k₂+k₃+...+k_n над даною n елементною множиною М, в якому елемент a₁ - повторюється k₁ раз, елемент a₂ повторюється k₂раз, елемент a₃ - k₃ раз, … елемент a_n- k_n разів називається перестановкою довжини k (k=k₁+k₂+k₃+...+k_n) з повтореннями.

Числом перестановок з перетвореннями обчислюють за формулою: Pk₁,k_2,k_3,…k_n =( k₁+k₂+k₃+...+k_n)!/(k₁!k₂!k₃!...k_n!). Застосування цієї формули покажемо на прикладі наступної задачі.

Задача: скільки чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, якщо 1 - повторюється три рази, 2 - два, 3 - оди раз.

Розв’язання.

У цій задачі є трьохелементна множина М={1, 2, 3}. Із елементів цієї множини потрібно утворити кортеж довжини k, що дорівнює k₁+k₂+k₃, де k₁=3, k₂=2, k₃=1. Отже, k=3+2+1=6, тобто треба утворювати кортежі довжини 6. Це означає, що нам потрібно обчислити число перестановок з повтореннями, в яких перший елемент повторюється три рази, другий - два рази, третій - один. Таким чином, Р_3,2,1=(3+2+1)!/(3!•2!•1!)=6!/(3!•2!•1!)=(1•2•3•4•5•6)/(1•2•3•1•2•1)=720:12=60. Отже, за допомогою цифр 1, 2, 3 можна записати 60 шестицифрових чисел, в яких цифра 1 буде повторюватися цифра 2 - два рази, цифра 3 - один раз.

У комбінаториці розглядаються такою перестановки без повторень. Введемо відповідне означення та виведемо формулу для обчислення їх числа.

Означення: перестановкою без повторень з даних n елементів даної n елементної множини М називають розміщення без повторень із даних n елементів по n елементів.

Як відомо, розміщення - це впорядкована підмножина, а тому одне розміщення без повторень вiдрiзняється від іншого або складом елементів, або порядком їх розташування, а перестановка із даних елементів відрізняється від іншої лише порядком розташування елементів. Число перестановок без повторень позначатимемо Р_n, а цей запис читають: число перестановок з n елементів.

Теорема: число перестановок із даних n елементів обчислюють за формулою: Р_n=n!=1•2•3•...•n.

Доведення.

Згідно із означенням перестановок без повторень Р_n=A_nⁿ. За формулою A_nⁿ=n!/(n-k)!. Отже, Р_n= A_nⁿ=n!/(n-n)!=n!/0!=n!/1=n! Формула доведена.

Задача: скільки п’ятицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 1, 3, 5, 7, 9 якщо жодна із цифр не повторюється.

Розв’язання.

У задачі є п’ятиелементна множина М={1, 3, 5, 7, 9}. Із елементів цієї множини потрібно утворювати п’ятицифрові числа, причому жодна з цифр не повторюється, а оскільки одне п’ятицифрове число від іншого, утвореного з тих самих цифр буде відрізнятися навіть при переставлянні двох цифр, то нам слід утворювати перестановки без повторень із п’яти елементів. Отже у формулі: Р_n=n!, n=5. Р₅=5!=1•2•3•4•5=120. За допомогою п’яти цифр запишемо 120 чисел.

4. Комбiнацiї та їх властивості.

4.Розглянемо множину М={a₁, a₂, a₃,...,a_n}, де n(М)=n, i з’ясуємо, скільки k-елементних підмножин, де k≤n можна вибрати в цій множині М. Оскільки не вказано, що ці підмножини впорядковані, то одна підмножина повинна відрізнятися від другої принаймні одним елементом, а порядок розміщення елементів не має значення. В комбінаториці такі підмножини називаються комбінаціями із даних n елементів по k елементів, а їх число позначають символом С_n^k. Цей символічний запис читають так: число комбінацій із n елементів по k елементів.

Означення: будь-яка k елементна підмножина АÌМ даної n елементної множини М називається комбінацією із n елементів по k.

Із наведеного означення випливає, що комбінація – це множина, а тому одна комбінація від іншої відрізняється або принаймні одним елементом, або складом елементів. Одне розміщення із елементів множини М вiдрiзняється від іншого розміщення із елементів цієї ж множини або принаймні одним елементом, або складом елементів, або порядком їх розташування. Одна перестановка відрізнялася від іншої перестановки елементів цієї ж множини М порядком розташування елементів. Виведемо формулу для обчислення числа комбінацій.

Теорема: число комбінацій із даних n елементів по k елементів (k≤n) дорівнює дробові, чисельник якого дорівнює добутку k послідовних натуральних чисел, із яких найбільшим є n, а знаменник дорівнює добутку перших k натуральних чисел.

Символічно формула для обчислення числа комбінацій із даних n елементів по k елементів запишеться так: С_n^k=(n•(n-1)•(n-2)•...•(n-k+1))/(1•2•3•...•k)=n!/((n-k)!k!).

Доведення.

Виберемо в множині М={a₁, a₂, a₃,...,a_n} деяку k елементну підмножину А, де k≤n. Оскільки множина А містить k елементів, то із елементів цієї множини можна утворити k! перестановок. Як відомо i розміщення, i комбiнацiї являють собою підмножини даної множини, тільки розміщення - це впорядковані підмножини. Тоді розміщень із даних k елементів можна утворити більше в стільки разів, скільки можна утворити перестановок із даних k елементів. Число розміщень позначається А_n^k, число комбінацій С_n^k, число перестановок Р_n. Отже, А_n^k=С_n^k•Р_n. Звідси С_n^k=А_n^k/Р_n. Підставляючи значення числа розміщень і перестановок, одержимо дві формули для обчислення числа комбінацій із даних n е лементів по k елементів: 1) С_n^k=(n•(n-1)•(n-2)•...•(n-k+1))/(1•2•3•...•k); 2) С_n^k=n!/((n-k)!•k!). Теорему доведено.

Задача: скільки грошей потрібно витратити, щоб закупити таку кiлькiсть карточок спортлото 6 із 49, щоб, перебравши всі можливі комбiнацiї, точно вгадати 6 номерів.

Розв’язання.

У задачі мова йде про 49 елементну множину, із якої треба вибрати шестиелементні підмножини, для яких порядок розміщення елементів немає значення, а тому нам потрібно обчислити число комбінацій із 49 елементів по 6, тобто С₄₉⁶=(49•(49-1)•(49-2)•(49-3)•(49-4)•(49-5))/(1•2•3•4•5•6)=(49•48•47•46•45•44)/(1•2•3•4•5•6)=13983816. Щоб визначити необхідну кількість грошей, слід 13983816 помножити на ціну однієї карточки.

Для того, щоб спростити обчислення числа комбінацій, використовують властивості комбінацій, які спрощують ці обчислення.

Властивість 1: якщо 0<k≤n, то С_n^k=С_n^n-k.

Доведення.

Для доведення цієї властивості використаємо формулу С_n^k=n!/((n-k)!•k!) i покажемо, що права частина властивості дорівнює лівій. С_n^n-k=n!/((n-k)!•(n-(n-k))!)=n!/((n-k)!•(n-n+k)!)=n!/((n-k)!•k!)=С_n^k. Властивість доведено.

Цією формулою зручно користуватися, коли верхнє число більше половини нижнього, наприклад: С₁₀₀⁸⁰=С₁₀₀^100-80=С₁₀₀²⁰. Покажемо це на наступному прикладі: обчислити С₁₀₀⁹⁶=С₁₀₀^100-96=С₁₀₀⁴=(100•99•98•97)/(1•2•3•4)=3921225.

Властивість 2: якщо 0<k≤n, то для будь-яких k i n С_n^k=С_n-1^k+С_n-1^k-1.

Доведення.

Для доведення цієї властивості використаємо формулу для обчислення числа комбінацій i покажемо, що права частина рівності дорівнює лівій. С_n-1^k+С_n-1^k-1=((n-1))!/(k!•(n-k-1)!)+((n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!). Зведемо ці два дроби до спільного знаменника, враховуючи, що (n-k)!=1•2•3•...•(n-k-1)•(n-k) i (n-k-1)!=1•2•3•...•(n-k-1). Верхній i нижній факторіали вiдрiзняються лише тільки одним множником - (n-k), так само k! i (k-1)! вiдрiзняються лише одним множником k, а тому спільним знаменником для двох дробів буде k!•(n-k)!, тоді маємо: С_n-1^k+С_n-1^k-1=((n-1)!•k+(n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!•k)=((n-1)!(k+n-k))/(k!•(n-k)!)=((n-1)!•n)/(k!•(n-k)!)=n!/(k!•(n-k)!=С_n^k. Властивість доведено.

Остання доведена теорема лежить в основі побудови, так званого, трикутника Паскаля, який дає можливість обчислювати значення С_n^k, знаючи С_n-1^k і С_n-1^k-1. Цей трикутник представлено у наступній таблиці №2.

С₀⁰=1

С₁⁰=1

С₁¹=1=1

С₂⁰=1

С₂¹=2

С₂²=1

С₃⁰=1

С₃¹=3

С₃²=3

С₃³=1

С₄⁰=1

С₄¹=4

С₄²=6

С₄³=4

С₄⁴=1

С₅⁰=1

С₅¹=5

С₅²=10

С₅³=10

С₅⁴=5

С₅⁵=1

С₆⁰=1

С₆¹=6

С₆²=15

С₆³=20

С₆⁴=15

С₆⁵=6

С₆⁶=1

С₇⁰=1

С₇¹=7

С₇²=21

С₇³=35

С₇⁴=35

С₇⁵=21

С₇⁶=7

С₇⁷=1

С₈⁰=1

С₈¹=8

С₈²=28

С₈³=56

С₈⁴=70

С₈⁵=56

С₈⁶=28

С₈⁷=8

С₈⁸=1

Таблиця № 2. Трикутник Паскаля.

В цій таблиці у крайніх лівих і правих стовпцях стоять одиниці. У першому рядку записано С₀⁰=1, у другому - С₀⁰=1 і С₀⁰=1, у третьому – ліворуч С₂⁰=1, а праворуч С₂¹=1, а тоді, щоб обчислити С₂¹, необхідно додати числа, які стоять у попередньому рядку. Отже, С₂¹=1+1=2. Аналогічно можна обчислювати інші значення числа комбінацій, наприклад С₅³= С₄²+С₄³=6+4=10. Напрямок руху можна показати стрілками.

Запитання для самоконтролю та завдання для самостійної роботи студентів за модулем 1.

1. Чому не можна дати означення поняттю „множина”?

2. Як позначають множини?

3. Як називають предмети з яких складаються множини і як їх позначають?

4. Чому множина відноситься до неозначуваних понять?

5. Як позначають множини?

6. Як називають об’єкти множин? Як вони позначаються?

7. Які існують способи задання множин?

8. Задайте переліком п’ять множин.

9. Задайте п’ять множин за допомогою характеристичної властивості.

10. Записати десять довільних множин.

11. Записати десять порожніх множин.

12. Яка множина називається підмножиною даної множини? Як це записати?

13. На які дві групи поділяються підмножини?

14. Які існують відношення між множинами? Як вони зображаються?

15. Які дві множини називаються рівними? Як це довести?

16. За якою формулою знаходиться число підмножин даної множини?

17. Що називається геометричною фігурою, колом, відрізком?

18. Чи можуть елементами множин бути множини?

19. Задайте п’ять множин і вкажіть до кожної із них підмножину.

20. Записати всі підмножини множини А={1, 2, 3, 4, 5}.

21. Задайте дві множини і утворіть їх об’єднання.

22. Утворити об’єднання множин А та В, якщо: а) А={1,2,3,4,5}, а В={а,в,с}; б) А={1, 3, 5, 7}, а В={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

23. Задайте дві множини і утворіть їх перетин.

24. Утворіть перетин множин А={1, 2, 3, 4, 5} і В={1, 2, 4, 6,}.

25. Задайте чотири множини і утворіть їх перетини.

26. Довести А Ç В = В Ç А.

27. Доведіть закони операцій об’єднання і перетину за допомогою діаграм Ейлера-Венна чи міркуваннями.

28. Знайти різницю множин: а) А={а, в, с, d, t}, В={ а, в, t}; б) А={m,n,p,k,l}, В={а, в, с, k,l}; в) Z \ N; г) А={х/х=2 n, nÎN}, В={х /х=5n, n Î N}.

29. Довести кожен закон операцій над множинами одним із способів (міркуваннями чи за допомогою діаграм Ейлера-Венна).

30. Навести по 5 прикладів класифікацій із математики та навколишнього життя.

31. Розбити множину натуральних чисел на дві підмножини, що попарно не перетинаються.

32. Що таке впорядкована пара? Як вона позначається? Як називаються елементи, із яких складаються пари? Які пари називаються рівними?

33. Запишіть приклади впорядкованих пар, трійок.

34. Що називається кортежем довжини к? Як їх позначають? Які кортежі називаються рівними?

35. Що називається декартовим добутком множин Х і У? Як він позначається? Як його можна задавати?

36. Утворити Х´Х, якщо Х={а,в,с}.

37. Довести самостійно властивості 3-6, які пов’язують операції об’єднання, перетину, різниці та декартового добутку множин.

38. Виберіть дві скінченні множини, утворіть декартів добуток цих множин, задайте відношення між елементами цих множин кожним із шести відомих Вам способів.

39. Побудуйте граф відношення «менше» на множині Х={2, 3, 6, 7, 8} та з’ясуйте особливості цього графа.

40. Побудуйте граф відношення «≥» між елементами множини Х та з’ясуйте його особливості.

МОДУЛЬ 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.».

Змістовний модуль 2.1. «Поняття.».

ПЛАН.

1. Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.

2. Означувані та неозначувані поняття. Способи означення математичних понять, їх види (через найближчий рід і видову відмінність (видову ознаку), генетичні, індуктивні, або рекурсивні). Види означень понять початкового курсу математики. Структура визначення через рід та видову відмінність (видову ознаку).

3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.

Література.

[1] – с. 51-92. [2] – с. 3-11, 96-126. [3] – с. 79-168.

1. Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.

1. Як в школі, так і в інституті, доводиться вивчати навчальні предмети. Основними структурними компонентами будь-якого навчального предмету є такі: 1) основи, під якими розуміють вихідні наукові положення, на яких ґрунтується навчальний предмет (число, функція); 2) поняття та їх системи, відношення між ними; 3) ідеї, які виражені в навчальному тексті, в історичних фактах, задачах; 4) методи, за допомогою яких досліджується, пізнається, засвоюється учнями навчальний предмет.

Поняття – це форма мислення, яка відображає предмети і явища в їх істотних ознаках. Під ознакою поняття розуміють те, в чому предмети або явища схожі один з одним, або чим вони один від одного відрізняються. Ознаку предмета чи явища складають будь-які сторони, стани, які характеризують предмет, виділяючи його серед інших, допомагаючи розпізнавати його серед інших. Отже, ознаками поняття можуть бути властивості як наявні, так і відсутні. Кожен предмет чи явище може мати множину ознак. Всі ознаки будь-якого поняття можна поділити на такі групи: 1) одиничні або індивідуальні ознаки, які характеризують саме даний предмет, наприклад, стіл може бути білим або круглим; 2) загальні ознаки, які належать певній групі предметів, наприклад, столи можуть бути дерев’яними або скляними, або пластмасовими, або чорними; 3) істотні ознаки, які з необхідністю належать цьому поняттю, виражають його внутрішню природу, його суть, і без наявності яких поняття перестає бути цим поняттям, наприклад, стіл не існує без кришки, без двох ніжок, а трикутник не існує без трьох кутів, трьох сторін, трьох вершин; 4) неістотні ознаки, які можуть належати або не належати даному поняттю, і які не виражають суті цього поняття, наприклад, немає значення, чи стіл пластмасовий, чи залізний. Вирішальне значення для будь-якого поняття мають саме істотні ознаки. Саме тому, навчаючи дітей, потрібно формувати в них саме істотні ознаки поняття, які можуть бути як загальними, так і одиничними.

Як відомо, формами чуттєвого пізнання є сприймання та уявлення. Поняття відрізняється від форм чуттєвого пізнання тим, що сприймання та уявлення існують у свідомості людини у вигляді наочних образів окремих предметів, а поняття позбавлені наочності. Отже, поняття – це форма наукового пізнання, що відбиває істотне у виучуваних об’єктах та явищах і закріплюється спеціальними термінами (словами). Наприклад: “дерево”, “коло”, “трикутник” тощо. У математиці досить часто поняття позначаються не тільки термінами, але й спеціальними значками, наприклад: функція - ¦, трикутник - ∆, не дорівнює - ≠, дорівнює - ═, менше або дорівнює - ≤, більше або дорівнює - ≥, інтеграл - ∫, відсотки - % тощо. Таким чином, відображаючи істотне, поняття, з одного боку, не містять всього багатства індивідуальних ознак, а тому в порівнянні з формами чуттєвого пізнання, вони далі відстоять від дійсності (дерево – високе і низьке). З іншого боку, поняття ближче до дійсності, бо воно дозволяє глибше проникати в сутність оточуючої дійсності.

Досвід розвитку людства показав, що для утворення поняття необхідно виділити його істотні ознаки, але вони не лежать на поверхні. Саме тому поняття в історії людства формується протягом значного проміжку часу. В науці для утворення поняття використовують логічні прийоми: порівняння, аналіз, синтез, абстрагування, узагальнення, конкретизація, аналогії. Будь-яке поняття пов’язане із змістом та обсягом.

Означення: змістом поняття називається множина його істотних ознак, які мають всі елементи множини предметів, що належать до цього поняття.

Наприклад, змістом поняття “трикутник” є множина, яка складається з трьох елементів: мати три кути, мати три сторони, мати три вершини.

Означення: обсягом поняття називають множину предметів, яка характеризується цим поняттям.

Наприклад, обсягом поняття “трикутник” є множина всіх трикутників.

Виявляється, що між змістом і обсягом поняття існує взаємозв’язок. Збільшення обсягу поняття веде до зменшення його змісту, а збільшення змісту поняття веде до зменшення його обсягу. Проілюструємо цей зв'язок на прикладі поняття «паралелограм». Як відомо, паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Змістом цього поняття є такі істотні ознаки: а) бути чотирикутником; б) мати паралельні протилежні сторони. Обсягом цього поняття є множина всіх паралелограмів. Якщо ми збільшимо зміст цього поняття, тобто додамо ще одну істотну ознаку (наприклад, мати всі рівні сторони), то при цьому обсяг поняття зменшиться і буде складати множину ромбів. Якщо ми додамо ще одну ознаку (наприклад, мати прямий кут), то обсяг ще зменшиться і буде являти множину квадратів.

Якщо ж розширювати обсяг поняття, то це призведе до зменшення змісту. Так, наприклад, якщо відкинути вимоги мати три рівні сторони у множині трикутників, тобто зменшити зміст, то ми отримаємо множину рівнобедрених трикутників, яка включає в себе множину рівносторонніх трикутників. Таким чином, зміст та обсяг поняття пов’язані між собою законом обернено пропорційного відношення: збільшення обсягу веде до зменшення змісту і, навпаки, зменшення обсягу веде до збільшення змісту.

Поняття можуть мати деякі спільні ознаки, що дозволяє співставляти одні поняття з іншими. В цьому випадку поняття називають порівнюваними. Порівнювані поняття можна знайти в логічних відношеннях. Виділяють, по-перше, відношення тотожності, коли обсяги понять співпадають, але вони мають різні змісти, наприклад, квадрат – це прямокутник, у якого сторони рівні та квадрат – це ромб, у якого один кут прямий. Обсягом обох цих понять є множина квадратів, а змістом в першому випадку є такі ознаки: бути прямокутником і мати всі рівні сторони, у другому випадку змістом поняття квадрат є вже такі ознаки: бути ромбом і мати прямий кут.

Наступним відношенням, в яких можуть бути поняття, є відношення часткового збігу або перетину, яке характеризується тим, що частина обсягу одного поняття є частиною обсягу іншого поняття і, навпаки. Так у відношеннях часткового збігу знаходяться поняття прямокутника і ромба (див. наступну діаграму № 1).

Діаграма № 1. Відношення часткового збігу між поняттями.

Діаграма № 2: відношення підпорядкування між поняттями.

Третім відношенням, в якому можуть знаходитися поняття, є відношення підпорядкування, яке характеризується тим, що обсяг одного поняття є частиною обсягу іншого поняття. Так, у відношенні підпорядкування знаходяться поняття чотирикутник і трапеція, чотирикутник і паралелограм, паралелограм і квадрат (наприклад, кожен квадрат є паралелограмом, але не кожен паралелограм є квадратом). Поняття, яке має більший обсяг, називається підпорядковуючим поняттям, а поняття, що має менший обсяг, – підпорядкованим. Якщо у відношенні підпорядкування знаходяться два загальних поняття, то підпорядковуюче поняття називають родовим поняттям або родом, а підпорядковане поняття називають видовим поняттям або видом. Так, паралелограм є родовим поняттям, а поняття квадрата – видовим. Співвідношення між цими поняття представлене на діаграмі № 2.

2. У багатьох науках, зокрема в математиці, створення нового поняття розпочинається чи завершується введенням його означення. Означення - це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. Означення поняття дає можливість розпізнавати даний об’єкт чи явище та відносити чи не відносити його до даного поняття. В науці існують різні види та способи означення понять, серед яких можна виділити принаймні наступні:

1) явні означення, які мають форму рівності або співпадання двох понять, наприклад: квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні, або ромб, у якого всі кути прямі;

б) неявні означення, які не мають форми співпадання двох понять, наприклад: коло – це межа круга;

в) генетичні означення, які розкривають способи побудови або утворення поняття, наприклад: циліндром називається геометричне тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін;

г) індуктивні (рекурентні) означення, наприклад: арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, більший від попереднього на одне й теж саме, стале для даної послідовності, число;

д) означення через абстракцію, в якому властивості множин розкриваються через відношення рівності між ними. При таких означеннях використовується поняття розбиття множини на класи, що попарно не перетинаються, та перехід від даної множини Х до фактор-множини. Прикладом такого означення є означення натурального числа в теоретико-множинній або кількісні теорії: натуральним числом називається спільна властивість класу скінченних еквівалентних між собою множин.

У курсі математики початкової школи зустрічаються, в основному, неявні означення, серед яких можна виділити такі:

1) контекстуальні означення, в яких зміст нового поняття розкривається за допомогою частини тексту, тобто через контекст, через аналіз конкретної ситуації, що описує зміст поняття, що вводиться. Наприклад: 3+х=9. 2, 3, 6, 7, х – невідоме число, яке потрібно знайти. Яке з цих чисел потрібно підставити замість х, щоб рівність була правильною? Це число 6. В цьому контексті неявно формується поняття рівняння та його кореня;

2) остенсивні означення, які використовуються для введення термінів шляхом демонстрації об’єктів, які цим терміном позначаються. Наприклад: 9•4=36, 2•8=16 – це рівності.

Слід відзначити, що до означення понять ставлять певні вимоги, серед яких назвемо найважливіші:

1) означувані поняття та поняття, через які вони означаються, повинні бути сумірними, тобто обсяг означуваних понять повинен бути частиною обсягу поняття, через яке воно означається: поняття повинні знаходитися у відношенні часткового збігу або підпорядкування;

2) означення не повинні містити зачарованого кола, коли поняття визначається через саме себе, наприклад: маслом називається масло, паралелограмом називається такий паралелограм …;

3) в означенні слід вказати всі властивості, які дозволяють однозначно виділити об’єкти, що належать цьому поняттю;

4) в змісті поняття не повинно знаходитись надлишкових ознак. Так, наприклад, у школі прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі. Вимога всі кути прямі є надлишковою, бо достатньо вказати, що прямокутником називають паралелограм, у якого один кут прямий. Адже тоді можна було б довести, що всі кути прямокутника прямі.

Одним із видів явних означень є так зване означення через найближчий рід та видову відмінність. У такому означенні ототожнюється два поняття: 1) це означуване поняття; 2) – це поняття, через яке воно означається. Наприклад: ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. В цьому означенні ототожнюється поняття ромба і паралелограма, у якого всі сторони рівні. Якщо розглянути структуру цього означення, то вона складається з таких структурних елементів: по-перше, з означуваного поняття, тобто ромба; по-друге, вказується поняття, яке називають визначальним або родовим поняттям, тобто паралелограм; по-третє, вказується властивість, яка відрізняє нове поняття від визначального, тобто властивість “мати рівні сторони”. Поняття паралелограма є родовим поняттям по відношенню до поняття “ромб“. Властивість “мати рівні сторони“ є видовою ознакою, а поняття “ромб“ є видовим поняттям. Структуру такого означення можна представити у вигляді схеми (див. схему № 1).

<1 2 345 6 7 >

Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 2871;