Методы расчета и анализа вибраций

Вобщем случае конструкция ВТ представляет собой сложную колебательную систему, состоящую из конечного числа простых механических узлов, обладающих массой , закрепленных на пружинах с жесткостью (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Схема колебательных систем

Эта разбивка конструкции ВТ на простые колебательные системы упрощает методику расчета и анализа воздействия вибраций и является правомерным, так как передвижная ВТ выполняется из блоков, которые жестко укреплены на шасси и связаны гибкими соединениями. Для простой колебательной системы с одной степенью свободы движение под воздействием приложенных сил определяется изменением во времени одной координаты (рис. 4.2).

Такая система состоит из груза массой т, пружины жесткостью k и демпфера с коэффициентом демпфирования b. По принципу Даламбера уравнение движения такой системы относительно положения статического равновесия должно учитывать все силы, действующие на систему, в том числе и силу инерции:

(4.1)

где первое слагаемое в левой части — сила инерции, второе — сила демпфирования, третье — сила упругости пружины; правая часть представляет собой возмущающую силу Р, действующую извне на колебательную систему. Разделив правую и левую части уравнения на т, получим:

(4.2)

где — параметр, пропорциональный коэффициенту демпфирования;

— круговая частота собственных колебаний системы;

— удлинение (сжатие) пружины, которое она получила бы при статическом воздействии на нее силы

Решим уравнение для свободных и вынужденных колебаний механической системы. Для свободных колебаний правая часть уравнения (4.2) обращается в ноль. Допустим, что в начальный момент времени t = 0 массе т была сообщена мгновенная скорость , а затем система начала совершать свободные колебания. Для начальных условий ; ; при отсутствии демпфирования решение уравнения (4.2) имеет вид

т. е. возникает периодическое синусоидальное движение с собственной частотой . С увеличением массы частота уменьшается, а с увеличением жесткости пружины частота увеличивается. Любая реальная система имеет демпфирование . Так как , то решение уравнения (4.2) имеет следующий вид:

Рис. 4.2. Схема амортизации

Отсюда следует, что при наличии демпфирования сомножитель с течением времени стремится к нулю и колебательный процесс прекращается.

Если на колебательную систему воздействует внешняя сила Р, то правая часть уравнения (4.1) становится равной . В этом случае решение уравнения (4.2) приобретает вид

. (4.3)

Здесь первое слагаемое в правой части уравнения — решение уравнения свободных колебаний, а второе — частное решение, соответствующее гармонической силе Р. При этом

- начальная фаза,

а .

В уравнении (4.3) только А и зависят от начальных условий. С течением времени (t → ∞) колебания системы устанавливаются

Установившиеся под воздействием внешней гармонической силы колебания называются вынужденными. Характерной особенностью таких колебаний является то, что их амплитуда зависит не только от параметров системы и возмущающей силы, но и от ее частоты . Если частота возмущающей силы совпадает с собственной частотой системы , то наблюдается резонанс. В этом случае решение уравнения (4.1) при нулевых начальных условиях и отсутствии трения будет иметь вид

т. е. амплитуда колебаний линейно зависит от времени t и частоты собственных колебаний системы. Чем меньше коэффициент , тем медленнее нарастает амплитуда резонансных колебаний. Отсюда следует, что при быстром прохождении резонансной частоты амплитуда колебаний будет достигать меньшего значения, чем при медленном прохождении резонанса.

Если на систему в момент времени t = 0 действуют затухающие колебания, то уравнение движения системы принимает вид

, (4.4)

где — коэффициент затухания

Решением уравнения (4.4) будет равенство

Тогда амплитуда установившихся вынужденных колебаний на резонансной частоте

Для системы с трением амплитуда колебаний при резонансе может быть определена по выражению

Основные параметры, которыми обычно характеризуют гармонические колебания блоков, следующие: f — частота, Гц; — амплитуда перемещения, мм; — амплитудное значение скорости, м/с; — амплитудное значение ускорения, м/с²; — скорость нарастания ускорения или динамическая перегрузка, м/с³. Все эти параметры связаны между собой соотношениями: