Монотонность и локальные экстремумы функции
Функция называется монотонно возрастающей функцией на промежутке , если любому большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, (рис.52).
Рис.52
Функция называется монотонно убывающей функцией на промежутке , если любому большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, (рис.53).
Рис.53 |
Функция f(x) на промежутке называется монотонной функцией, если она на этом промежутке только монотонно возрастает или только монотонно убывает.
Точка называется точкой локального максимума функции, если значение функции в этой точке является наибольшим по сравнению с теми значениями, которые функция имеет во всех точках, достаточно близких к точке .
Максимумом функции называется значение функции в её точке локального максимума, (рис.54).
– точка локального максимума функции существует такая окрестность что при ; |
Рис.54
Точка , называется точкой локального минимума функции, если значение функции в этой точке является наименьшим по сравнению с теми значениями, которые функция имеет во всех точках, достаточно близких к точке .
Минимумом функции называется значение функции в её точке локального минимума, (рис. 55). где - точка минимума.
– точка локального минимума функции существует такая окрестность что при ; |
Рис.55
Локальные максимумы и минимумы функции называются локальными экстремумами функции. Функция может иметь на своей ООФ несколько локальных экстремумов (и даже бесконечно много). Локальные экстремумы могут быть только во внутренних точках ООФ, так как в их определении участвуют окрестности точек.
Если имеется график функции, то промежутки её монотонности и локальные экстремумы определяются визуально.
Например, рассмотрим функцию , заданную своим графиком и по графику охарактеризуем ее монотонность и экстремумы (рис.56):
Рис.56
ООФ: ;
;
;
.
Если функция задана аналитически и является непрерывной и дифференцируемой, то промежутки ее монотонности и локальные экстремумы можно найти с помощью необходимых и достаточных условий для этих характеристик, которые будут рассмотрены в теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной».
Замечание (к понятиям монотонности и локальных экстремумов)
Все определенные здесь понятия монотонности и локальных экстремумов функции предполагают строгие неравенства для значений функции, поэтому часто называются строгой монотонностью и строгими локальными экстремумами:
верно (или ) строго (или строго );
верно (или ) - точка строгого локального максимума (или строгого локального минимума).
В учебной литературе можно встретить определения аналогичных нестрогих понятий:
если , верно , то называется неубывающей функциейна промежутке , или нестрого возрастающей;
если , верно , то называется невозрастающей функциейна промежутке , или нестрого убывающей;
если верно (или ), то точка азывается точкой нестрогого локального экстремумафункции f(x)(нестрогого максимума или нестрого минимума).
Далее по умолчанию будем понимать монотонность и экстремумы как строгие понятия.
Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1897;