Несчетность множества действительных чисел
Легко показать, что множество всех действительных чисел имеет такую же мощность, как и множество чисел промежутка . Действительно, биективное отображение этих множеств легко устанавливается с помощью непрерывной монотонной функции, определенной на одном из этих множеств и принимающей все значения другого множества, (рис. 39).
Рис.39
Теперь будем доказывать несчетность множества чисел . Заметим, что доказать несчетность какого-то множества нелегко. Ведь доказательство счетности множества сводится просто к придумыванию правила, по которому нумеруются все его элементы. А доказать несчетность какого-то множества — это значит доказать, что такого правила нет и быть не может. Иными словами, какое бы правило мы ни придумали, всегда найдется незанумерованный элемент этого множества.
Для доказательства несчетности множества будем использовать так называемый «диагональный метод», оригинально предложенный Кантором в 1891г.
Предположим противное, то есть предположим счетность множества ; это означает, что все числа промежутка можно занумеровать в некоторую счетную последовательность . Известно, что каждое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби; будем использовать эту запись для чисел :
,
где — это любые из цифр 0, 1, ... , 9, взятые в любом порядке.
Теперь будем строить новое число следующим образом:
…
, …
Например, если то
Очевидно, что число и отличается от всех чисел , потому что:
, так как отличается от первой цифрой после запятой,
, так как отличается от второй цифрой после запятой,
, так как отличается от третьей цифрой после запятой, и т.д.
Таким образом, число не попало в счетную последовательность по какому правилу бы мы ее ни составляли.
Очевидно, что аналогичных «незанумерованных» чисел построить можно сколько угодно, например, заменяя цифры 1 и 0 на другие цифры. Следовательно, предположение о возможности занумеровать все числа является неверным. Из этого следует, что множество не является счетным, но имеет бо́льшую мощность, чем мощность счетного множества.
Мощность множества , а также эквивалентного ему множества называется мощностью континуум. Легко доказывается, что такую же мощность имеют любые непрерывные подмножества множества . Для этого достаточно построить биективное отображение заданного непрерывного множества на промежуток или на все множество .
Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 9501;