Эластичность функции

Рассмотрим функцию у = f(x), где х ≥ 0 и у ≥ 0. Пусть ∆х – изменение аргумента х. Соответствующее ему изменение функции ∆y = f(x + ∆х) – f(x). Рассмотрим относительные изменения величин х и у:

Таким образом, эластичность функции у = f(x) равна производной этой функции, умноженной на отношение аргумента к значению функции.

Геометрический смысл эластичности проиллюстрирован на рис. 3.3. Пусть прямая ВС – касательная к графику функции у = f(x) в точке А. Точка В – пересечение касательной с осью х, точка С – пересечение касательной с осью у. Тогда эластичность функции у = f(x) в точке А есть отношение длин отрезков АС и АВ:

(3.3)

↑ Действительно, пусть А1 и А2 – абсцисса и ордината точки А. Эластичность функции у = f(x) в точке А по определению:

.

Из рис. 3.3 видно, что х=│0А₁│, у=│0А₂│, а по свойству производной, поэтому .

Из подобия треугольников АА₁В и АА₂С следует соотношение кроме того, и .

Следовательно,

Случай иного расположения точек пересечения касательной возрастающей функции с координатными осями рассматривается аналогично. Если функция убывает, то точка А расположена между точками В и С, рассуждая аналогично,

(3.3′) ↑

Найдём, для каких функций функция эластичности постоянна. По определению (3.2)

.

Пусть Е_х(у) = const, т.е. всегда равна некоторому числу Е:

, тогда или lny=Elnx+lna,

где а – константа интегрирования. Тогда у = а х^E.

Таким образом, эластичность степенной функции равна показателю степени и не зависит от аргумента. По этой и другим причинам степенную функцию удобно использовать в экономических моделях в качестве простейшей аналитической функции, описывающей зависимость различных параметров.

Пусть D = D(P) – функция спроса. Рассмотрим эластичность спроса:

.

Функция эластичности спроса в зависимости от цены – удобный экономический показатель, характеризующий изменение спроса. В отличие от производной функции спроса в зависимости от цены, эластичность – безразмерна и не зависит от выбранного масштаба.

В большинстве случаев спрос убывает с ростом цены, в этих случаях эластичность отрицательна. В моделях знак эластичности, как правило, не имеет значения и для удобства рассматривается модуль функции эластичности.

Пусть или .Т.е. скорость изменения спроса в зависимости от цены меньше темпа изменения цены, отнесённой к спросу. Если цена возрастает, то скорость уменьшения спроса меньше скорости роста цены. Если цена убывает, то скорость роста спроса меньше скорости уменьшения цены. Такой спрос называется неэластичным.

Пусть или . Т.е. скорость изменения спроса равна скорости изменения цены. Спрос имеет единичную эластичность.

Пусть или . Т.е. скорость изменения спроса в зависимости от цены больше темпа изменения цены, отнесённой к спросу. Такой спрос называется эластичным.

Эластичность функции используется для анализа и других экономических понятий, например, предложения.

На практике, если нет аналитического описания функции, формулу (3.2) невозможно использовать для расчёта эластичности. Часто предполагают зависимость степенной: D(P) = а Р^Е. Для определения параметров – этой функции достаточно знать значение спроса для двух значений цены: D₁ = D(P₁) и D₂ = D(Р₂), для степенной функции: .

Тогда откуда .

Этот метод даёт хорошее приближение для практических расчётов.