Приведение сил и масс в механизмах

3.1.9.1 Приведенные силы и моменты

При исследовании движения механизма, находящегося под действием заданных сил, удобно все силы, действующие на звенья, заменять силами, приложенными к одному из звеньев механизма. Такие заменяющие силы получили название приведенных сил.

Приведенная сила или приведенный момент – условная сила или момент пары сил, которые приложены к звену приведения и развивают мощность, равную сумме мощностей, развиваемых звеньями. Т.е.:

Р_пр=∑N_i/υ_пр; (3.41)

М_пр=∑N_i/ω_пр, (3.42)

где N_i - мощность, развиваемая i-тым звеном; υ_пр- линейная скорость звена приведения, ω_пр – угловая скорость звена приведения.

Звено механизма, к которому приложена приведенная сила, называется звеном приведения. Точка приложения приведенных сил называется точкой приведения. За звено приведения обычно принимается звено, закон движения которого задан. Таким звеном является кривошип.

Известно, что мощность приведенных сил, есть производная работы по времени

N_i = dA/dt. (3.43)

Работа есть произведение силы на расстояние

dA/dt = (Р_прdS)/dt . (3.44)

Т.к. производная расстояния по времени есть скорость (dS/dt = υ_пр), то

dA/dt = Р_прυ_пр (3.45)

или, учитывая формулы (3.43) и (3.45), имеем:

N_i = Р_прυ_пр. (3.46)

Работа вычисляется по формуле (см. п. 3.1.6):

dA/dt =SР_ίυ_ίcosα_ί + SМ_ίω _ί

или, учитывая уравнение (3.43), получим:

N_i= SР_ίυ_ίcosα_ί + SМ_ίω _ί. (3.47)

Приравнивая равенства (3.46) и (3.47)

Р_прυ_пр =SР_ίυ_ίcosα_ί + SМ_ίω _ί

и, выразив приведенную силу, получим выражение для Р_пр

. (3.48)

Приведенный момент и приведенная сила связаны между собой зависимостью

М_пр= Р_прℓ_ОА = (Нм). (3.49)

Подставив формулу Р_пр в формулу М_пр и, учитывая, что ℓ_ОА= υ_пр/ω_пр, получим

. (3.50)

Сравнивая формулы (3.48) и (3.34) из п. 3.1.6, увидим идентичность этих выражений. Поэтому имеет место следующий вывод.

Рур А Рпр w1   О

Приведенная сила, также как и уравновешивающая, приложена перпендикулярно кривошипу (звену приведения), равна ей по величине, но противоположна по направлению, т.е.: Рпр=-Рур.

Поэтому, чтобы определить приведенную силу, можно воспользоваться соотношениями (3.34), (3.48), использовать последовательный силовой расчет механизма и ведущего звена или применить «жесткий» рычаг Н.Е. Жуковского.

3.1.9.2 Приведенные массы и приведенные моменты инерции.

Кинетическая энергия механизма

Для начала рассмотрим кинетическую энергию механизма.

При поступательном движении кинетическая энергия вычисляется по формуле:

Т_пост= =(Дж).

Для вращательного движения формула кинетической энергии имеет вид:

Т_вр= =(Дж).

Для звена, имеющего сложное (плоскопараллельное) движение, кинетическая энергия будет вычисляться следующим образом:

Т_сл= =(Дж).

Кинетическая энергия всего механизма будет равна сумме кинетических энергий отдельных его звеньев:

Т_мех = =(Дж), (3.51)

где m_i - масса i-того звена, υ_i - скорость i-того звена, J_Si - осевой момент инерции i-того звена, ω_i - угловая скорость i-того звена.

Теперь определим, как находятся приведенная масса и приведенный осевой момент инерции. Для начала дадим их определение.

Приведенная масса (приведенный момент инерции) – условная масса (условный момент инерции), сосредоточенные в точке приведения, кинетическая энергия которых равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма, т.е.:

m_пр= =(кг); (3.52)

J_пр= = (кгм²). (3.53)

Подставляя выражение (3.51) в формулы (3.52) и (3.53), получим:

m_пр= =(кг); (3.54)

J_пр = = (кгм²). (3.55)

Приведенная масса и приведенный момент инерции связаны между собой соотношениями:

J_пр= m_прℓ_ОА = (кгм²). (3.56)

Сравнивая формулы (3.51), (3.54) и (3.55), можно заметить, что числители одинаковы. Поэтому, зная связь между Т, J_пр и m_пр, можно легко определить каждую из этих величин.

Вопросы для самоконтороля

1. Дайте определение силе движущей, силе сопротивления.

2. Напишите формулу, по которой определяется модуль главного вектора силы инерции звена. Расскажите, как направлен этот вектор.

3. Расскажите о последовательности определения реакций в многозвенном механизме.

4. Расскажите о последовательности определения реакций в группе Ассура.

5. Расскажите, как с помощью рычага Н.Е. Жуковского определить уравновешивающую силу (уравновешивающий момент).

6. Что называют механической характеристикой машины? Индикаторной диаграммой двигателя?

7. Дайте определение приведенной силы (приведенного момента), приведенной массы (приведенного момента инерции звеньев механизма).

8. Докажите, что приведенный момент инерции звеньев механизма не зависит от угловой скорости звена приведения.