Моделирование случайных процессов

1. Провести моделирование очереди в магазине с одним продавцом при равнове­роятных законах распределения описанных выше случайных величин: прихода по­купателей и длительности обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров). Получить устойчивые характеристики: средние значения ожидания в очереди покупателем и простой продавца в ожидании прихода покупателей. Оце­нить их достоверность. Оценить характер функции распределения величин g и h.

2. Провести то же моделирование при пуассоновских законах распределения ве­роятностей входных событий: прихода покупателей и длительности обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).

3.Провести то же моделирование при нормальном законе распределения вероят­ностей входных событий: прихода покупателей и длительности обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).

4. В рассмотренной выше системе может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем, В самом деле, если покупатели заходят в магазин очень часто (или продавец работает слишком медленно), очередь начинает расти, и в рассматриваемой системе с конечным временем обслуживания наступит кризис. Построить зависимость между величинами (a max, b min), отражающую границу указанной критической ситуации, при равновероятном распределении входных событий.

5. На междугородней телефонной станции две телефонистки обслуживают общую очередь заказов. Очередной заказ обслуживает та телефонистка, которая первой освободилась. Если обе в момент поступления заказа заняты, то звонок аннулиру­ется и требуется звонить снова. Смоделировать процесс, считая входные потоки пуассоновскими.

6.Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, но считать, что, если в момент попытки сделать заказ обе телефонистки занять;, формируется очередь.

7. Пусть на телефонной станции с одним входом используется обычная система: если абонент занят, то очередь не формируется и надо звонить снова. Смоделиро­вать ситуацию: три абонента пытаются дозвониться до одного и того же владельца номера и в случае успеха разговаривают с ним некоторое (случайное по длитель­ности) время. Какова вероятность того, что некто, пытающийся дозвониться, не сможет сделать это за определенное время Т?

8. Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, но считать, что, если в момент попытки связаться телефон абонента занят, формируется очередь.

9. На травм. пункте работает один врач. Длительность лечения больного и проме­жутки времени между поступлениями больных — случайные величины, распреде­ленные по пуассоновскому закону. По тяжести травм больные делятся на три кате­гории, поступление больного любой категории — случайное событие с равноверо­ятным распределением. Врач вначале занимается больными с максимально тяже­лыми травмами (в порядке их поступления), затем, если таковых нет, — больны­ми с травмами средней тяжести (в порядке их поступления) и лишь затем — боль­ными с легкими травмами. Смоделировать процесс и оценить средние времена ожидания в очереди больных каждой из категорий,

10.Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, при условии, что в травм. пункте работают два врача, а больные делятся не на три, а на две категории.

11.Одна ткачиха обслуживает группу станков, осуществляя по мере необходимос­ти краткосрочное вмешательство, длительность которого — случайная величина.Какова вероятность простоя сразу двух станков?Как велико среднее время про­стоя одного станка?

12.Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, если группу стан­ков совместно обслуживают две ткачихи.

13.В городском автохозяйстве две ремонтные зоны. Одна — обслуживает ремонты краткой и средней продолжительности, другая — средней и долгой (т.е. средне­срочный ремонт может осуществлять каждая из зон). По мере поломок в автохо­зяйство доставляют транспорт; промежуток времени между доставками — случай­ная пуассоновская величина. Продолжительность ремонта — случайная величина с нормальным законом распределения. Смоделировать описанную систему. Каковы средние времена ожидания в очереди транспорта, требующего соответственно крат­косрочного, среднесрочного и длительного ремонта?

14. Реализовать имитационную модель статистического моделирования для реше­ния задачи Бюффона (XVIII в.). Автор аналитически нашел, что если на поле, разграфленное параллельными прямыми, расстояние между которыми L, броса­ется наугад игла длиной l, то вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну прямую, определяется формулой р = 2*l/(pi*L) .

Эта задача дала способ имитационному определению числа pi. Действительно, если L =2*l, то p = 1/pi. В ходе моделирования выполнить этот расчет.

15.Разработать модель случайного одномерного блуждания (модель «пьяницы»). Блуждание задается по правилу: если случайное число из отрезка [0,1] меньше 0,5, то делается шаг вправо на расстояние h, в противном случае ~ влево. Распределе­ние случайных чисел принять равновероятным. Решить задачу: какова вероятность при таком блуждании удалиться от началь­ной точки на п шагов?

16.В условиях задачи из предыдущего варианта получить ответ на вопрос: какова вероятность «пьяницей вернуться через п шагов в начальную точку?

17.Точка хаотически блуждает на плоскости по узлам квадратной сетки с возмож­ностью делать с равной вероятностью шаги влево-вправо-вверх-вниз на фиксиро­ванный (за один ход) шаг. Движение происходит в замкнутом прямоугольном объе­ме, и при соприкосновении со стенкой происходит зеркальное отражение от нее.

Ответить в ходе моделирования на вопрос: как связана частота посещения каж­дого узла с расстоянием от него до того узла, из которого начинается движение?

18. Смоделировать ту же ситуацию, что и в задании к варианту 17, при условии неограниченной области блуждания и ответить на заданный вопрос,

19.Смоделировать полет пчелы. На плоскости (поляне) случайным образом растут медоносные растения с заданной концентрацией (на 1 м3). В центре — улей, из кото­рого вылетает пчела. Пчела может долететь от одного растения до любого другого растения, но вероятность выбора монотонно уменьшается с увеличением расстояния между растениями (по некоторому закону). Какова вероятность посещения пчелой конкретного заданного растения за заданное количество элементарных перелетов?

20. Реализовать модель плоского броуновского движения п частиц в прямоугольни­ке. Частицы считать шариками конечного размера. Удары частиц друг о друга и о стенки моделировать как абсолютно упругие. Определить п этой модели зависи­мость давления газа на стенки от числа частиц.

21. Разработать в деталях и реализовать модель перемешивания (диффузии) газов в замкнутом сосуде. В начальный момент времени каждый газ занимает половину сосуда. Изучить с помощью этой модели зависимость скорости диффузии от раз­личных входных параметров,

22. Реализовать имитационную модель системы «хищник—жертва» по следующей схеме.

«Остров» размером 20^20 заселен дикими кроликами, волками и волчицами, Имеется по несколько представителей каждого вида. Кролики в каждый момент перемещаются с одинаковой вероятностью 1/9 передвигаются в один из восьми сосед­них квадратов (за исключением участков, ограниченных береговой линией) или просто сидят неподвижно. Каждый кролик с вероятностью 0,2 превращается в двух кроликов. Каждая волчица передвигается случайным образом, пока в одном из соседних восьми квадратов не окажется кролик, за которым она охотится. Если волчица и кролик оказываются в одном квадрате, волчица съедает кролика и по­лучает одно очко. В противном случае она теряет 0,1 очка.

Волки и волчицы с нулевым количеством очков умирают. В начальный момент времени все волки и волчицы имеют 1 очко. Волк ведет себя подобно волчице до тех пор, пока в соседних квадратах не исчезнут все кролики; тогда, если волчица находится в одном из восьми близлежащих квадратов, волк гонится за пей.Если волк и волчица окажутся в одном квадрате и там пег кролика, которого можно съесть, они производят потомство случайного пола.

Пронаблюдать за изменением популяции в течение некоторого периода времени. Проследить, как сказываются на эволюции популяций изменения параметров модели.

23.Промоделировать процесс распространения инфекции стригущего лишая по участку кожи размером n*n (п — нечетное) клеток.