Общая задача о колебаниях в прямоугольном резонаторе. Классификация типов колебаний

Поставим задачу определить всю совокупность резонансных частот, которые соответствуют колебаниям различных типов в замкнутой металлической полости прямоугольной формы. Для этого обратимся вновь к изображению резонатора и положим, что ось является осью стоячей волны, а в поперечной плоскости устанавливается распределение поля, отвечающее колебаниям типа прямоугольного волновода. Как уже было показано, условие резонанса приобретает вид .

Величина связана с дисперсионным соотношением

.

Поскольку

,

то из дисперсионного соотношения получим

.

Если полагать, что по волноводу распространяется волна типа , то формула для резонансных длин волн будет полностью аналогична последнему уравнению.

Интересно отметить, что в формулу для резонансной длины волны размеры , и , относящиеся к осям , и соответственно, входят совершенно равноправно. Поскольку известно, что некоторые из индексов типа колебаний могут равняться нулю, по крайней мере, для волн , естествен вопрос о том, возможны ли резонаторные типы колебаний с индексом . Согласно условию , поле не меняется на всем протяжении оси , вдоль которой расположены стенки длиной .

Если рассмотреть волноводную волну типа , то здесь силовые линии электрического вектора располагаются так, как это показано на рисунке 60 (при , ). Данный рисунок соответствует тому случаю, при котором тип колебаний является распространяющимся, т. е. при . Если же величина стремится к , то длина волны в волноводе устремляется к бесконечности и силовые линии электрического поля приобретают вид «нитей», параллельных оси . В пределе, при , электрическое поле обладает единственной -й составляющей, в силу чего граничные условия на двух идеально проводящих торцевых стенках будут выполняться автоматически независимо от расстояния между ними.

Рисунок 60 − К вопросу о существовании колебаний типов

Таким образом, колебания типа в прямоугольном объемном резонаторе существуют. Если в уравнение для резонансных длин волн подставить значение , то будем иметь

.

Данная формула в точности совпадает с выражением для критической длины волны колебания типа в прямоугольном волноводе с размерами сечения . Это значит, что в объемном резонаторе с колебаниями типа существует резонанс в поперечном сечении .

Рассмотрим теперь колебания типа в прямоугольном резонаторе. Здесь исходное волноводное колебание типа , по определению обладает только поперечным распределением электрического поля. Если составляющие поля не будут меняться вдоль оси , как это должно быть в случае колебания , то поле в любой точке резонатора должно быть тождественно равно нулю, поскольку граничные условия на торцевых стенках выполнены быть не могут. Таким образом, колебания типа физически не существуют.

Подытожим вопрос о классификации типов колебаний в прямоугольном объемном резонаторе. Уже известно, что данная классификация проводится следующим образом:

1) одна из осей резонатора принимается за ось стоячей волны;

2) определяется, какой волноводный тип колебаний, или , распространяется в регулярном волноводе, из которого образован объемный резонатор;

3) определяется величина — число стоячих полуволн, укладывающихся между торцевыми стенками.

В результате приходим к колебаниям типа или . Следует отметить, что данная классификация в значительной мере условна, поскольку она полностью определяется начальным выбором оси стоячей волны. Для иллюстрации этого положения на рисунке 61 изображена уже знакомая картина поля для колебания типа .

Рисунок 61 − К вопросу об условном характере классификации типов колебаний в объемном резонаторе

Если теперь осуществить поворот резонатора в пространстве таким образом, чтобы грань с размером была ориентирована вдоль оси , то этот же самый электромагнитный процесс должен быть обозначен как колебание типа . Легко проверить, что резонансные длины волн для названных типов колебаний тождественно равны.