Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Уравнения с правой частью специального вида.
Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.
Различают следующие случаи:
I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
где 
— многочлен степени m.
Тогда частное решение ищется в виде: 
Здесь Q(x) — многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r — число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение 
.
Решим соответствующее однородное уравнение: 
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.
Частное решение ищем в виде: , где 
Т.е. 
Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.
Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.
Итого, частное решение: 
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
где число r показывает сколько раз число 
является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Т.е. если уравнение имеет вид: 
, то частное решение этого уравнения будет 
где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений
и 
Для иллюстрации решим пример, рассмотренный выше, другим способом.
Пример. Решить уравнение 
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx).
Составим и решим характеристическое уравнение: 
1. Для функции f1(x) решение ищем в виде 
.
Получаем: 
Т.е. 
Итого: 
2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: 
.
Анализируя функцию f2(x), получаем:
Таким образом, 
Итого: 
Т.е. искомое частное решение имеет вид: 
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
Рассмотрим примеры применения описанных методов.
Пример. Решить уравнение 
Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
Общее решение однородного уравнения: 
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Частное решение имеет вид: 
Общее решение линейного неоднородного уравнения: 
Пример. Решить уравнение 
Характеристическое уравнение:
Общее решение однородного уравнения: 
Частное решение неоднородного уравнения: .
Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
Дата добавления: 2015-10-13; просмотров: 607;