Метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта является более точным по сравнению с методом Эйлера.
Суть уточнения состоит в том, что искомое решение представляется в виде разложения в ряд Тейлора.
Если в этой формуле ограничиться двумя первыми слагаемыми, то получим формулу метода Эйлера. Метод Рунге – Кутта учитывает четыре первых члена разложения.
.
В методе Рунге- Кутта приращения Dyi предлагается вычислять по формуле:
где коэффициенты ki вычисляются по формулам:
Пример. Решить методом Рунге- Кутта дифференциальное уравнение при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1.
Для i = 0 вычислим коэффициенты ki.
Результаты последующих вычислений представим в таблице:
i | xi | k | Dyi | yi | |
0,1000 | 0,1104 | ||||
0,1100 | |||||
0,1105 | |||||
0,1155 | |||||
0,1 | 0,1210 | 0,1325 | 1,1104 | ||
0,1321 | |||||
0,1326 | |||||
0,1443 | |||||
0,2 | 0,1443 | 0,1569 | 1,2429 | ||
0,1565 | |||||
0,1571 | |||||
0,1700 | |||||
0.3 | 0,1700 | 0,1840 | 1,3998 | ||
0,1835 | |||||
0,1842 | |||||
0,1984 | |||||
0,4 | 0,1984 | 0,2138 | 1,5838 | ||
0,2133 | |||||
0,2140 | |||||
0,2298 | |||||
0,5 | 1,7976 |
Решим этот же пример методом Эйлера.
Применяем формулу
Производя аналогичные вычисления далее, получаем таблицу значений:
i | ||||||
xi | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 |
yi | 1,1 | 1,22 | 1,362 | 1,528 | 1,721 |
Применим теперь уточненный метод Эйлера.
i | ||||||
xi | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 |
yi | 1,1 | 1,243 | 1,400 | 1,585 | 1,799 |
Для сравнения точности приведенных методов численного решение данного уравнения решим его аналитически и найдем точные значения функции у на заданном отрезке.
Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения имеет вид
Общее решение:
C учетом начального условия:
Частное решение:
Для сравнения полученных результатов составим таблицу.
i | xi | yi | |||
Метод Эйлера | Уточненный метод Эйлера | Метод Рунге-Кутта | Точное значение | ||
0,1 | 1,1 | 1,1 | 1,1104 | 1,1103 | |
0,2 | 1,22 | 1,243 | 1,2429 | 1,2428 | |
0,3 | 1,362 | 1,4 | 1,3998 | 1,3997 | |
0,4 | 1,528 | 1,585 | 1,5838 | 1,5837 | |
0,5 | 1,721 | 1,799 | 1,7976 | 1,7975 |
Как видно из полученных результатов метод Рунге – Кутта дает наиболее точный ответ. Точность достигает 0,0001. Кроме того, следует обратить внимание на то, ошибка (расхождение между точным и приближенным значениями) увеличивается с каждым шагом вычислений. Это обусловлено тем, что во – первых полученное приближенное значение округляется на каждом шаге, а во – вторых – тем, что в качестве основы вычисления принимается значение, полученное на предыдущем шаге, т.е. приближенное значение. Таким образом происходит накопление ошибки.
Это хорошо видно из таблицы. С каждым новым шагом приближенное значение все более отличается от точного.
Дата добавления: 2015-10-13; просмотров: 628;