Особенности коррелирования рядов динамики

Во многих исследованиях приходится изучать динамику нескольких показателей одновременно, т.е. рассматривать параллельно несколько рядов динамики. В этом случае возникает необходимость измерить зависимость между ними, вернее, определить, насколько изменения уровней одного ряда зависят от изменения уровней другого ряда. Эта задача решается путем коррелирования рядов динамики.

Однако при этом возникает следующая проблема: если показатели ряда x и ряда y рассматривать как функцию времени, т.е. x = f(t) и y = f(t), то при однонаправленности их трендов можно получить большое значение коэффициента корреляции между x и y даже тогда, когда они независимы, именно в силу однонаправленности их изменения.

Поэтому, прежде чем коррелировать ряды динамики, необходимо установить путем логического (качественного) анализа, возможна ли связь между исследуемыми показателями x и y. Кроме того, одно из условий корреляции – независимость отдельных значений переменных множества x, так же как и множества y. Для рядов динамики это равнозначно отсутствию автокорреляции между уровнями ряда, т.е. отсутствию зависимости между последовательными (соседними) уровнями ряда динамики. Другими словами, прежде чем коррелировать ряды динамики, необходимо проверить каждый ряд на автокорреляцию.

Если исходные фактические уровни ряда, относящиеся к определенному моменту (периоду) времени t, обозначить через y_t, то сдвинутые на один момент (период) уровни обозначают y_t-1. Тогда, подставив в формулу коэффициента корреляции (5) значения y_t и y_t-1, получим формулу:

,

а поскольку и , получим следующие формулы для расчета коэффициента автокорреляции:

, (10) или .

Сдвинутый (укороченный) ряд условно дополняют, принимая y₁ = y_n (чтобы сдвинутый ряд не укорачивался и чтобы средний уровень и дисперсия исходного и сдвинутого рядов были одинаковы).

Найденное по формуле (10) или значение коэффициента автокорреляции само по себе еще не говорит о наличии или отсутствии автокорреляции. Его нужно сравнить с критическим.

Существуют специальные таблицы, в которых для разного числа членов ряда n и разных уровней значимости α определено критическое значение коэффициента автокорреляции: если найденное по формуле (10) или значение окажется меньше критического, то автокорреляция отсутствует. Одна из таких таблиц, составленная Р. Андерсоном, приведена в Приложении 5.

В нашем примере про внешнеторговый оборот и таможенные платежи проверим оба эти ряда динамики на автокорреляцию с помощью формулы (10), для чего построим таблицу 7.

Таблица 7. Вспомогательные расчеты для проверки на автокорреляцию

Теперь по формуле (10) для ряда x: r_a = = 0,111.

Аналогично по формуле (10) для ряда y: r_a = = 0,249.

По таблице Приложения 5 определяем критическое (предельное) значение коэффициента корреляции для числа уровней n = 12 и уровне значимости α = 0,05. Оно равно 0,348. Оба рассчитанных значения оказались меньше критического, значит автокорреляция между уровнями в обоих рядах динамики отсутствует, следовательно, можно коррелировать уровни x и y.

Исключение автокорреляции в рядах динамики. Если между уровнями ряда (при коррелировании рядов динамики) существует автокорреляция, она должна быть устранена. Есть несколько способов исключения автокорреляции в рядах динамики. Наиболее простой – коррелирование отклонений от выравненных уровней. Для этого каждый ряд динамики выравнивают по определенной для него аналитической формуле (т.е. находят и ), затем из эмпирических уровней вычитают выравненные (т.е. находят остаточные величины, не описываемые уравнением тренда: и ). Так как остаточные величины могут содержать автокорреляцию (например, в случае недостаточно точно подобранного уравнения тренда), необходимо убедиться, что между ними автокорреляция отсутствует. Лишь после этого можно определять тесноту связи между d_x и d_y. Формулу коэффициента корреляции между остаточными величинами можно записать в следующем виде:

.