Теорема 2. Матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Пусть имеет обратную матрицу. Тогда и, применяя теорему об умножении определителей, получаем или . Следовательно, .

Пусть . Укажем явное выражение матрицы через элементы матрицы , а именно: если , то:

,

(9.5)

здесь ‑ алгебраическое дополнение к элементу . Матрица (9.5) получается из матрицы следующим образом. Сначала вместо каждого элемента пишется его алгебраическое дополнение, затем полученная матрица транспонируется и получается т.н. присоединенная матрица. Для получения обратной матрицы присоединенная матрица умножается на величину, обратную .

Непосредственное умножение на матрицу (9.5) слева и справа дает единичную матрицу, что подтверждает, что (9.5) – матрица, обратная к .

Пример 12. Найти обратную матрицу к матрице .

Так как , то существует. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

,	,
,	,
,	,
,	,
.

Матрицу находим в два приема, согласно формуле (9.5). Сначала запишем матрицу , состоящую из алгебраических дополнений элементов . Затем матрица транспонируется и умножается на число обратное , в данном случае – на (-1). Окончательно получаем:

.

Матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Отметим свойства обратных матриц. Если и ‑ невырожденные матрицы одинакового порядка, то:

,

,

,

.

Контрольные вопросы к лекции №9

1. Понятие матрицы.

2. Виды матриц.

3. Понятие транспонирования матриц.

4. Операции сложения и вычитания матриц.

5. Операции умножения и возведения в степень матриц.

6. Понятие определителя.

7. Определитель - го порядка.

8. Правила нахождения определителей 2 и 3 порядка.

9. Свойства определителей.

10. Правила нахождения определителей - го порядка.

11. Понятие обратной матрицы.

12. Схема нахождения обратной матрицы.

13. Понятие ранга матрицы.