Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа

Используя формулу умножения комплексных чисел (3.3), получим формулу возведения комплексного числа в степень, называемую формулой Муавра:

(3.5)

 

Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.

Перейдем к процедуре извлечения корней. Известно, что во множестве действительных чисел не из всякого действительного числа можно извлечь корень. Например, не существует. В множестве комплексных чисел дело обстоит иначе.

Пусть . Комплексное число называется корнем -й степени из , если , т.е.:

или

.

Модуль комплексного числа определяется однозначно, поэтому или (здесь имеется в виду арифметический корень).

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до . Следовательно, , а .

Таким образом, комплексное число , которое является корнем -й степени из имеет вид:

(3.6)

Придавая различные значения, мы не всегда будем получать различные корни. Действительно, можно записать в виде , где . Тогда:

,

Т.е. значение аргумента при данном отличается от значения аргумента при на число, кратное . Следовательно, в формуле (2) можно ограничится лишь значениями . При таких значениях получаются различные корни, так как разность между их аргументами по абсолютной величине меньше .

Итак, для каждого ненулевого числа существует ровно корней -й степени из .

Пример. Вычислить .

Представим число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме:

.

Извлечем далее корень третьей степени из этого комплексного числа:

.

Отсюда полагая, что , получим:

;

;

.

Контрольные вопросы к лекции №3

1. Счетные и несчетные числовые множества.

2. Ограниченные множества.

3. Границы и грани множеств.

4. Соединения элементов.

5. Вычисление числа размещений, перестановок и сочетаний.

6. Понятие комплексного числа.

7. Понятие мнимой единицы (числа).

8. Основные операции над комплексными числами.

9. Представление комплексного числа в тригонометрической форме.

10. Понятие модуля комплексного числа.

11. Понятие аргумента комплексного числа.

12. Охарактеризовать умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

13. Формула Муавра.

 









Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 781; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2019 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.015 сек.