Соединения. Бином Ньютона

Рассмотрим совокупность различных элементов . Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов:

( ; )

называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.

Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.

Размещениями из элементов по ( ) называют их соединения, каждое из которых содержит ровно различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком элементов.

Определим число размещений из элементов по .

Будем строить произвольное соединение последовательно. Сначала определим его первый элемент . Очевидно, что из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента , для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Для элементов формула приобретает вид: