Метод хорд
В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном промежутке
[a,b] заменяется хордой, проходящей через точки (a,f(a))и (b,f(b))
Рис.2.4. Метод хорд. Неподвижен правый конец промежутка b
Уравнение хорды: . Найдем точку пересечения хорды с горизонтальной осью. Полагая и , получим
.
Точку x1 принимаем за новую границу отрезка, где содержится корень. Через эту точку с координатами (x1,f(x1)) и соответствующую границу предыдущего интервала (b,f(b)) опять проводим хорду, находим и т.д., получая последовательность x1,x2,x3,…xn,…, сходящуюся к корню уравнения.
Вторая производная сохраняет постоянный знак на . Следовательно, возможны два случая. Если f(b)·f "(b)>0, то хорда имеет правый фиксированный конец, причем последовательность x0,x1,…xn приближается к корню слева. За начальное приближение x0, естественно, берут a
; ; ;
.
Рис.2.5. Метод хорд. Неподвижен левый конец промежутка a
Если f(a)·f "(a)>0, то хорда имеет левый фиксированный конец, причем последовательность x0,x1,…xn … приближается к корню справа. За начальное приближение x0, берут b
; ; ;
.
Для оценки точности можно воспользоваться формулой
,
где -точный корень, - приближенный корень, , на промежутке [a,b]. Считаем до тех пор пока, не выполнится условие . Если имеет место неравенство , то счет можно прекратить, когда.
Пример 2.4. Найти методом хорд корень уравнения x4-x-1=0
Решение находим, используя пакет Mathcad.
Функция монотонна на промежутках (-∞, 0.63), (0.63, ∞) и меняет на концах промежутков знак. Уравнение имеет два корня. Сузим промежутки отделения корней методом проб, т.е. подстановкой.
Первый корень принадлежит промежутку (-1,-0.5)
Второй корень принадлежит промежутку (1,1.5)
Будем находить корень на промежутке (-1,-0.5)
Вторая производная всюду положительна, функция положительна в точке a = -1, значит, этот конец неподвижен.
-максимальное, a -минимальное значение модуля производной на промежутке |
так как , множитель
нужно учитывать при оценке точности решения,
Нашли корень исходного уравнения с точностью .
Рис. 2.6. Вычисления в Mathcad, реализующие метод хорд для примера 2.4
2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных
Пусть - корень уравнения отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки на этом же отрезке . Найдя какое-нибудь n-е значение корня ( ), уточним его по методу Ньютона. Для этого положим , где - считаем малой величиной. Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x n по степеням h n . Тогда можно записать:
Ограничимся двумя членами ряда и так как , то:
.
Учитывая найденную поправку hn:,получим (n=0,1,2,…).
Рис.2.7 Метод касательных. Начальное приближение x0=b
По-другому этот метод называется методом касательных. Если в точке провести касательную к функции f(x) , то ее пересечение с осью ОХ и будет новым приближением x1 корня уравнения
Хорошим начальным приближением является то значение, для которого выполнено неравенство . Погрешность вычислений Счет можно прекратить, когда
Теорема 2.2: Если , причем и отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то, исходя из начального приближения , удовлетворяющего условию , можно вычислить методом Ньютона единственный корень уравнения с любой степенью точности.
Пример 2.5. Найти методом Ньютона корень уравнения x4-x-1=0,
1-я производная |
2-я производная положительна |
один корень лежит на промежутке (-1.-0.5), второй на промежутке (1.1.5) Уточним левый корень методом Ньютона |
Нашли корень исходного уравнения -0.7245 с точность 0.00007.
Рис. 2.8. Вычисления в Mathcad, реализующие метод касательных для примера 2.5
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 2351;