Методи побудови регресійних моделей
Введемо наступні позначення: Y – вектор вихідних змінних системи, що моделюються; X – вектор вхідних параметрів, які контролюються.
В постановці задачі регресійного аналізу yi – деяка випадкова величина, яка змінюється навколо невідомого параметру
,
де - випадкова флуктуація.
Як правило регресійна модель зв¢язує два параметри. Щоб побудувати регресійну модель, необхідно встановити факт існування зв¢язку між досліджуваними параметрами, який підтверджується кореляційним моментом (коваріацією). З точки зору статистики коваріація може бути визначена
,
де - математичне очікування значення змінних х і у.
Величина коваріації дозволяє знайти коефіцієнт кореляції
,
де - середньоквадратичні похибки у визначенні змінних х і у.
Вважають, що, якщо , то зв¢язок між випадковими величинами х і у досить імовірний. В такому випадку можна побудувати рівняння регресії у вигляді
.
Нехай в площині ХОУ маємо набір точок . Ці точки, як правило, не лежать на одній прямій лінії в силу випадковості вимірювань, тому формула рівняння регресії є наближеною (рис.6.5).
Рисунок 6.5 – Лінія регресії
Задача зводиться до визначення коефіцієнтів а і b. Найпростіше це зробити за методом найменших квадратів, суть якого полягає в тому, що треба вибрати таку лінію, сума квадратів віддалей усіх точок від якої буде мінімальною. Згідно з цим методом мінімізуємо суму
.
Тут - задані числа.
Щоб мінімізувати суму знаходимо похідні
; .
Прирівнюючи ці похідні до нуля, одержимо систему рівнянь для визначення коефіцієнтів а і b
,
,
звідки
; .
Для оцінки точності регресійного аналізу визначають середньоквадратичну похибку і коефіцієнт варіації.
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 768;