Исходная задача. 3 страница

, .

Сложность данного метода заключается в необходимости экспертного задания весовых коэффициентов , особенно тогда, когда частные критерии различны по характеру, размерности и величине. В этом случае их предварительно следует привести к безразмерному виду, нормированному к единице. Пусть – максимальное значение критерия , . Тогда безразмерный нормированный критерий примет вид:

, .

Иногда вместо аддитивного критерия (2.67) используется критерий с мультипликативной сверткой частных критериев:

. (2.68)

Этот критерий принципиально не отличается от предыдущего, так как можно прологарифмировать выражение (2.68) (предполагается, что все ) и получить выражение, аналогичное (2.67):

.

Метод минимаксных критериев. Этот метод в простейшем случае применяется в следующем виде:

. (2.69)

В отличие от метода линейной свертки, здесь на целевой критерий оказывает влияние только тот частный критерий оптимизации, которому соответствует наименьшее значение функции . Таким образом, в данном случае решение принимается с учетом наиболее «слабого» критерия. При необходимости можно, как и в предыдущем случае, ввести весовые коэффициенты . Тогда критерий (2.69) примет вид

, , .

Другой подход к созданию минимаксных критериев заключается в выборе контрольных показателей по всем критериям , которые определяют их наименьшее допустимое значение . При этом в качестве скалярного критерия можно использовать величину наибольшего отклонения значения критерия от контрольного показателя, которую необходимо минимизировать:

, , .

Контрольные показатели определяются либо экспертно, либо путем решения однокритериальных задач:

.

В последнем случае набор чисел характеризует предельные, вообще говоря, недостижимые значения критериев.

На практике подбор чисел может осуществляться ЛПР в интерактивном режиме при работе с программой, вычисляющей значения критериев .

Метод Парето. Метод Парето позволяет находить компромиссы между требованиями к принимаемому решению, которые определяются частными критериями.

Рассмотрим - мерное пространство , образованное критериями , . В этом пространстве каждому вектору соответствует вектор

.

Рассмотрев все векторы , получим область , которая представляет собой отображение множества допустимых решений в пространство , или область достижимости рассматриваемой многокритериальной задачи. Обозначим границу области достижимости

Рассмотрим две точки . Если выполняются неравенства

(2.70)

для всех , причем хотя бы одно неравенство строгое, то будем говорить, что точка предпочтительнее точки . Если для некоторой точки не существует более предпочтительных точек, то точку называют эффективным, или Парето-оптимальным решением многокритериальной задачи (2.65).

Множество, включающее все эффективные решения, обозначается и называется множеством Парето для векторного отображения . Образ множества в пространстве критериев обозначается . Это множество содержится в области достижимости рассматриваемой задачи, т.е. .

Пример. Проиллюстрируем введенные понятия простым примером.

Рассмотрим задачу оптимизации с двумя критериями:

(2.71)

при ограничениях

(2.72)

На рисунке 2.7 а показана область ограничений переменных D –прямоугольник , а на рисунке 2.7 б – область достижимости задачи в пространстве критериев в виде четырехугольника .

а б

Рис. 2.7. Область ограничений переменных (а) и область достижимости задачи (б) в задаче (2.71), (2.72)

Можно непосредственными вычислениями убедиться, что все эффективные точки лежат на прямой , принадлежащей области . Таким образом, множество Парето представляет собой линию , а отображение этой линии в пространство критериев - линию .

Итак, мы видим, что решение данной двухкритериальной задачи оптимизации представляет собой множество . Для выбора из этого компромиссного множества единственного решения необходимо привлечение дополнительной информации в виде одного из рассмотренных выше методов. Рассмотрим применение этих методов к данной задаче.

Метод главного критерия. Предположим, что главным критерием оптимизации является , а критерий ограничен условием

.

Тогда мы получаем обычную однокритериальную задачу линейного программирования:

при условиях

(2.73)

Метод линейной свертки критериев. Введем весовые коэффициенты для критерия и для критерия . Сведем задачу (2.71), (2.72) к однокритериальной:

(2.74)

при ограничениях (2.59).

Из формулы (2.74) видно, что при коэффициент при отрицательный, следовательно, для максимизации критерия (2.61) необходимо выбрать наименьшую возможную величину , а при этот коэффициент положительный, и необходимо выбрать наибольшую возможную величину . Переменная в обоих случаях должна быть равной 2.

В первом случае имеем:

, , .

Обратившись к рисункам 2.7а и 2.7 б, мы видим, что при решение данной задачи соответствует точкам и .

При получается следующее решение

, ,

что соответствует точкам и на рисунках.

Отметим, что в обоих случаях решение находится в области Парето.

Использование минимаксного критерия.Обратимся к формуле (2.69). В рассматриваемом случае она имеет вид:

.

Анализ области достижимости показывает, что в пределах этой области выполняется условие , то есть минимальное значение имеет критерий , и его в соответствии с (2.69) необходимо максимизировать. Нетрудно видеть, что , что соответствует точке на рисунке 2.7 б, которая принадлежит множеству Парето.

Подводя итоги второй главы, мы видим, что существует множество методов, основанных на детерминированном подходе к формированию альтернатив решения и выбору среди них наилучшего.

Однако, как отмечалось ранее, детерминированный подход не учитывает возможных неопределенностей в условиях принятия решений, их случайного характера. Поэтому в следующей главе будут рассмотрены методы, основанные на вероятностном подходе к принятию решения.

Вопросы и задания для самостоятельного изучения

1. Составьте когнитивную карту какой-либо знакомой Вам деятельности, например, успехов в спорте, в учебе, в научной работе и др.