Показательная функция комплексного переменного

Лекция 3. Элементарные функции комплексного переменного

В комплексной области функцию требуется определить так, чтобы при ее свойства совпадали с известными свойствами функции . Одно из важнейших свойств функции — представление ее рядом Тейлора: она является суммой сходящегося на всей числовой прямой ряда .

Учитывая это, рассматриваем ряд и убеждаемся, что он абсолютно сходится при любом , т.е. во всей комплексной плоскости определена некоторая функция — сумма этого ряда. Так как при имеем , то вводим следующее определение. Показательной функцией в комплексной области называется функция, которая является суммой сходящегося во всей комплексной плоскости ряда

(5.1)

Из определения следует, что показательная функция определена во всей комплексной плоскости. В частности, при , где — действительное число, имеем . Используя свойства абсолютно сходящихся рядов (возможность перестановки и группировки членов ряда), ряд можно записать в виде алгебраической суммы двух рядов с действительными членами отделить действительную и мнимую части ряда:

Полученные ряды являются рядами Тейлора для функций и . В результате имеем равенство , или, обозначив через

(5.2)

Формула (5.2) — формула Эйлера была использована для записи комплексного числа в показательной форме.

Функция обладает, очевидно, всеми свойствами, справедливость которых установлена в действительной области, т.е. для функции .

С другой стороны, в силу расширения множества, следует ожидать, что имеют место и другие свойства, аналога которых в действительной области нет.

К свойствам первой группы нужно отнести прежде всего формулу сложения:

(5.3)

Доказательство формулы сводится, согласно определению показательной функции, к доказательству справедливости при любых и равенства которое устанавливается путем перемножения абсолютно сходящихся рядов, записанных слева.

Если в равенстве (5.3) положить — любое комплексное число, то, учитывая тождество , можно записать . Это равенство, справедливое при любых значениях , означает, что функция является периодической и ее наименьший период — чисто мнимое число равное . Аналога этому свойству в действительной области нет, функция — непериодическая.

Так же, как и в действительной области, показательная функция не обращается в нуль, ни при каком значении аргумента. Действительно, предположим противное. Пусть существует число , такое при котором , тогда из тождества , где — любое комплексное число, получили бы, при любом , что неверно. Однако это единственное исключение, т.е. нуль — единственное значение, которое не может принимать функция . В отличие от значение функции в комплексной области может быть отрицательным, например . Вообще может принимать любые значения в плоскости , за исключением нуля. Это свойство доказывается просто, если в формуле (5.2) положить и сравнить равенство с показательной формой записи комплексного числа. В результате получим, что при фиксированном значении , модуль числа равен величине , а аргумент равен величине , т.е.

Отсюда получаем, что может принимать любые значения , так как — любое число.

Пример 1. Найти для чисел: а) ; б) .

Решение.а) Находим модуль числа и аргумент . После этого можно записать ; . Этот же результат можно получить другим методом .

б) Представим число в виде произведения, .

Следовательно, ,

Пример 2. Найти , если .

Решение. . Следовательно, , . Тогда, , .

Пример 3. Показать, что функция является периодической и ее период — действительное число.

Решение.Нужно показать, что существует такое число , что выполняется равенство . Так как справедливо равенство , то число должно быть таким, что бы выполнялось равенство , а это верно при .

Пример 4. Доказать, что функция является неоднолистной на множестве . Найти область однолистности.

Решение. Пусть , значения функции равны в этих точках , если . Это и означает неоднолистность функции.

Чтобы определить область однолистности запишем разность . Значения функции совпадают для тех и , для которых выполняется равенство или где .

Следовательно, однолистной функция будет в любой области, принадлежащей горизонтальной полосе ширины , , в частности, в полосе или (Рис. 5.1).

Любая прямая ( , параллельная действительной оси отображается в луч , так как из равенства получаем , . В частности, действительная ось , то есть переходит в луч действительную положительную полуось, а прямая , то есть, прямая , в луч , геометрически это та же действительную положительную полуось. Для однозначности функции проведем разрез по лучу. При этом, точкам прямой будут соответствовать точки нижнего берега разреза, а точкам прямой точки нижнего берега разреза

Полученный результат запишем в виде утверждения: функция взаимно однозначно отображает:

1) любую полосу — в плоскость с разрезом по лучу ;
2) полосу в плоскость с разрезом по действительной отрицательной полуоси;
3) полосу во всю комплексную плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.