Тригонометрические и гиперболические комплексные функции

Функции вводятся аналогично показательной функции — как суммы соответствующих абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости рядов:

(5.4)

(5.5)

На основе этих функций определяются и другие тригонометрические и гиперболические функции:

Из определений следует, что функции являются четными, а остальные — нечетными.

Сравнивая формулы (5.4) и (5.5) с формулой (5.1) — определением функции , получаем следующие формулы, справедливые при любом

(5.6)

(5.7)

Формулы (5.6) и (5.7) — формулы Эйлера; они связывают тригонометрические и гиперболические функции с показательной. Формула (5.6) при , где — действительная переменная, рассмотрена выше.

Так как формулы (5.6) и (5.7) верны при любых значениях , то, заменяя на и учитывая, что и — нечетные, a и — четные функции, можем записать

Комбинируя эти формулы с (5.6) и (5.7), получаем представление тригонометрических и гиперболических функций через показательную функцию:

, (5.8)

(5.9)

Эти формулы позволяют использовать при исследовании гиперболических и тригонометрических функций в комплексной области свойства показательной функции и не обращаться к определениям (5.4),(5.5), т.е. не рассматривать более сложные операции — действия с рядами.

Так, с помощью (5.8) и (5.9) устанавливается справедливость таких формул сложения, как

и других формул, в частности формул тригонометрии.

Кроме того, что тригонометрические и гиперболические функции выражаются через , они еще и связаны между собой. Соответствующие формулы получаются из (5.8) и (5.9)

, . (5.10)

Отсюда, в частности, получаются такие формулы, как

Как и в действительной области, тригонометрические функции и являются периодическими и их период равен . Это следует из формул (5.8) (см. пример 3). А гиперболические функции, не будучи периодическими в действительной области, в комплексной области являются периодическими, их период, как и у функции , — мнимое число (это следует из рассмотрения равенств (5.9)).

Замечательным свойством, не имеющим аналога в действительной области, является свойство неограниченности (по модулю) функций и . Эти функции могут принимать любые значения, в частности большие единицы. Например, для числа по формуле (5.8) имеем: .