Теоретическое введение. В зависимости от способности проводить электрический ток твердые тела делят на изоляторы (диэлектрики)

В зависимости от способности проводить электрический ток твердые тела делят на изоляторы (диэлектрики), полупроводники и проводники. Бу­дет ли твердое те­ло ме­тал­лом или ди­элек­три­ком, за­ви­сит не толь­ко и да­же не столь­ко от свойств ато­мов, сколь­ко от ти­па свя­зей, объ­е­ди­няю­щих ато­мы в кри­стал­ли­че­скую ре­шет­ку твер­до­го те­ла. Например, ато­мы од­но­го и то­го же ве­ще­ст­ва – уг­ле­ро­да – в за­ви­си­мо­сти от то­го, в ка­кую кри­стал­ли­че­скую ре­шет­ку твер­до­го те­ла они соеди­ни­лись, мо­гут об­ра­зо­вать и очень хо­ро­ший про­вод­ник (гра­фит), и прекрасный изо­ля­тор (ал­маз).

При об­ра­зо­ва­нии ме­тал­ли­че­ских кри­стал­лов ато­мы, объ­е­ди­ня­ясь в кри­сталл, те­ря­ют свои ва­лент­ные элек­тро­ны, и кри­стал­ли­че­скую ре­шёт­ку об­ра­зу­ют уже поло­жи­тель­но за­ря­жен­ные ио­ны. При этом элек­тро­ны не при­над­ле­жат ни­ка­ко­му кон­крет­но­му ио­ну, они обоб­ще­ст­в­ле­ны кри­стал­лом и мо­гут сво­бод­но передвигать­ся под дей­ст­ви­ем внеш­не­го элек­три­че­ско­го по­ля. Это – сво­бод­ные носи­те­ли за­ря­да, или элек­тро­ны про­во­ди­мо­сти. Их кон­цен­тра­цию n мож­но вычислить сле­дую­щим об­ра­зом:

, (5.1)

где D_m – плот­ность ме­тал­ла; N_А – число Авогадро; μ и V_м – мо­ляр­ные мас­са и объ­ем ме­тал­ла; z - чис­ло ва­лент­ных элек­тро­нов, ко­то­рые от­дал ка­ж­дый атом в "кол­ле­ктив" элек­тро­нов про­во­ди­мо­сти (на­при­мер, для ме­ди и се­ре­б­ра z=1, для цин­ка и маг­ния z=2, для пла­ти­ны z=4). Кон­цен­тра­ция элек­тро­нов про­во­ди­мо­сти в ме­тал­лах очень ве­ли­ка (обыч­но 10²⁸÷10²⁹м^-3), по­это­му ме­тал­лы яв­ля­ют­ся пре­вос­ход­ны­ми про­вод­ни­ка­ми.

Ина­че об­сто­ит де­ло в ди­элек­три­ках и по­лу­про­вод­ни­ках. В этих кри­стал­лах ка­ж­дый атом свя­зан с бли­жай­ши­ми со­се­дя­ми проч­ны­ми элек­трон­ны­ми свя­зя­ми. Что­бы ра­зо­рвать эти свя­зи и соз­дать сво­бод­ные элек­тро­ны, спо­соб­ные пе­ре­но­сить элек­три­че­ский ток, не­об­хо­ди­мо за­тра­тить энер­гию. Ве­ли­чи­на этой энер­гии в неме­тал­ли­че­ском кри­стал­ле обо­зна­ча­ет­ся сим­во­лом e_g. Она яв­ля­ет­ся важ­ней­шей ха­рак­те­ри­сти­кой кри­стал­ла. Зна­че­ние e_g за­ви­сит от струк­ту­ры кри­стал­ла, от свойств ато­мов, об­ра­зую­щих кри­сталл, и у раз­лич­ных ма­те­риа­лов ле­жит в пределах от нуля до не­сколь­ких де­сят­ков элек­трон-вольт. В обыч­ных жи­тей­ских масшта­бах энер­гия, рав­ная 1эВ=1.6×10^-19 Дж, ни­чтож­на. Но в ми­ре ато­мов и элек­тро­нов эта ве­ли­чи­на вы­гля­дит очень со­лид­но. Так, сред­няя энер­гия те­п­ло­вых ко­ле­ба­ний час­ти­цы при ком­нат­ной тем­пе­ра­ту­ре рав­ня­ет­ся все­го kT=0.026 эВ (k=1.38^. 10^{-23 Дж}/_К – по­сто­ян­ная Больц­ма­на). Энер­гия фо­то­на крас­но­го све­та рав­на ~1.8 эВ. Ки­не­ти­че­ской энер­гии элек­тро­на в 1 эВ со­от­вет­ст­ву­ет его скорость ~6^.10^{5 м}/_с.

Если значение e_g велико, то нагревание до очень высоких температур не создает в кристалле заметного числа свободных электронов. Кристалл может даже раньше расплавиться, прежде чем в нем появятся свободные электроны. Такие кристаллы с большими значениями e_g являются типичными диэлектриками.

В простых металлах реализуется ситуация, когда валентные электроны свободны даже при абсолютном нуле температуры, поэтому концентрация электронов практически не зависит от температуры.

В кристалле с небольшим значением e_g нагревание даже до не слишком высокой температуры приведет к разрыву значительного числа электронных связей и появлению свободных электронов. Кристалл приобретёт способность проводить электрический ток. Концентрация свободных электронов, пропорциональная числу разорванных связей, будет резко расти с увеличением температуры. Такие кристаллы относятся к классу полупроводников, т.е. неметаллических материалов с относительно небольшой величиной энергии e_g. Значения e_g для типичных полупроводников лежат в пределах от нескольких десятых долей электрон-вольта до двух-трех электрон-вольт. В таблице 5.1 приведены значения e_g для некоторых кристаллов.

Таблица 5.1.

Зонная теория твердых тел.

Рис. 5.1

Раз­личие элек­три­че­ских свойств ме­тал­лов, диэлек­три­ков и по­лу­про­вод­ни­ков мо­жет быть нагляд­но ис­тол­ко­ва­но на язы­ке энер­ге­ти­че­ских диаграмм в рамках так на­зы­вае­мой зон­ной теории, раз­ви­той на ос­но­ве кванто­вой ме­ха­ни­ки. Выполним мыслен­но сле­дую­щий экс­пе­ри­мент. Возь­мем N атомов не­ко­то­ро­го веще­ст­ва и рас­по­ло­жим их в простран­ст­ве на дос­та­точ­но боль­шом рас­стоя­нии друг от дру­га так, что­бы их раз­ме­ще­ние воспроизводи­ло струк­ту­ру кри­стал­ла этого вещества. Рас­стоя­ния ме­ж­ду ато­ма­ми ве­ли­ки, и мож­но пре­неб­речь их взаимодейст­ви­ем. Элек­тро­ны в от­дель­ных ато­мах мо­гут за­ни­мать толь­ко впол­не оп­ре­де­лен­ные элек­три­че­ские уров­ни. По­ка ато­мы на­хо­дят­ся на боль­ших расстояни­ях друг от дру­га, они име­ют сов­па­даю­щие схе­мы энер­ге­ти­че­ских уровней. По ме­ре сбли­же­ния ато­мов до рас­стоя­ний, рав­ных меж­атом­ным расстояни­ям в твер­дых те­лах, все уси­ли­ваю­щее­ся взаи­мо­дей­ст­вие ме­ж­ду ато­ма­ми при­во­дит к расщеплению уров­ней и рас­ши­ре­нию их в по­ло­сы (или зо­ны) разрешен­ных для элек­тро­нов энер­ги­ей. Расщепление объясняется запретом Паули, со­глас­но ко­то­ро­му на од­ном энер­ге­ти­че­ском уров­не не мо­жет находить­ся бо­лее двух элек­тро­нов, при­чем их соб­ст­вен­ные мо­мен­ты импульса (спи­ны) долж­ны иметь про­ти­во­по­лож­ные на­прав­ле­ния.Таким образом,в кристалле, объединяющем N одинаковых ато­мов с одинаковым набором энергетических уровней у изолированных атомов, электроны уже не могут находиться в одинаковых состояниях, и каждый уровень изолированного атома расщепляется в кристалле на N различных, уровней, на которых могут разместиться все электроны. Схе­ма образо­ва­ния энер­ге­ти­че­ских зон кри­стал­ла из дис­крет­ных энер­ге­ти­че­ских уров­ней отдель­ных ато­мов при их сбли­же­нии показана на рис. 5.1.

При этом окон­ча­тель­ный энер­ге­ти­че­ский спектр в об­ра­зо­вав­шем­ся кри­стал­ле бу­дет определять­ся равновесным меж­атом­ным расстоянием r₀, ха­рак­тер­ным для дан­но­го кри­стал­ла. Расщепление уров­ней в зо­ны про­исхо­дит независимо от то­го, име­ют­ся ли на соответствующих атом­ных уров­нях элек­тро­ны или эти уров­ни пусты. В последнем слу­чае расщепление уров­ней от­ра­жа­ет рас­ши­ре­ние диа­па­зо­на возможных энер­гий, ко­то­рые мо­жет при­об­ре­сти элек­трон в кри­стал­ле. Естественно, что наиболь­шее расщепление име­ют энер­ге­ти­че­ские уров­ни внешних, ва­лент­ных элек­тро­нов и уров­ни, со­от­вет­ст­вую­щие воз­бу­ж­ден­ным состоя­ни­ям элек­тро­нов в ато­мах. Валентной зоной называется зона, получившаяся при расщеплении наивысшего занятого электронами уровня свободного атома в основном состоянии.

В об­ра­зо­вав­шем­ся зон­ном энер­ге­ти­че­ском спек­тре зо­ны раз­ре­шенных для ато­мов энер­гий раз­де­ле­ны за­пре­щен­ны­ми про­ме­жут­ка­ми, ко­то­рые на­зы­ва­ют­ся запре­щен­ны­ми зо­на­ми. Ка­ж­дая из раз­ре­шен­ных зон со­дер­жит N дискретных, близ­ко рас­по­ло­жен­ных уров­ней, – столь­ко, сколько ато­мов со­дер­жит кри­сталл, то есть очень много. Рас­стоя­ние ме­ж­ду от­дельны­ми уров­ня­ми в зо­не (~10^-22 эВ) сравнимо с естественной шириной энергетических уровней и столь ни­чтож­но, что можно считать энергию электронов в зоне изменяющейся практически непрерывно. Однако надо помнить, что число энергетических состояний в зоне все равно конечно из-за принципа Паули.

Са­ми фак­ты дис­крет­но­сти уров­ней и ко­неч­но­го чис­ла уров­ней в зо­нах играют прин­ци­пи­аль­ную роль, т.к. в за­ви­си­мо­сти от за­пол­не­ния зон элек­тро­на­ми твер­дые те­ла де­лят­ся на про­вод­ни­ки, ди­электри­ки и по­лу­про­вод­ни­ки.

Рис. 5.2

За­пол­не­ние элек­тро­на­ми энер­ге­ти­че­ских уров­ней в зо­нах осу­ще­ст­в­ля­ет­ся в соответ­ст­вии с прин­ци­пом Пау­ли. Воз­мож­ны не­сколь­ко ва­ри­ан­тов рас­по­ло­же­ния и за­пол­не­ния зон (рис. 5.2). Ес­ли верх­няя со­дер­жа­щая элек­тро­ны зо­на за­пол­не­на час­тич­но или полностью заполненная электронами зона перекрывается по энергии со свободной зоной, то твердое тело будет хорошим проводником (рис. 5.2, а, б). В этом случае под действием внешнего электрического поля электроны смогут легко перемещаться по свободным энергетическим уровням зоны.

Если же полностью заполненная электронами зона отделена запрещенной зоной от зоны, не содержащей электронов (эта зона называется зоной проводимости), то твердое тело будет диэлектриком или полупроводником в зависимости от ширины запрещенной зоны e_g (рис. 5.2, в, г). В этом случае при температуре абсолютного нуля свободных носителей заряда нет. Чтобы увеличить энергию электрона, необходимо сообщить ему количество энергии не меньше, чем ширина запрещенной зоны e_g. Если значение e_g невелико, то энергии теплового движения оказывается достаточно, чтобы перевести часть электронов из валентной зоны в зону проводимости. При этом возникает сразу две частично заполненные зоны. В зоне проводимости электроны будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся электроны в металле. Одновременно станет возможным переход электронов валентной зоны на освободившиеся в ней верхние уровни. Таким образом, электроны обеих зон смогут дать свой вклад в электропроводность кристалла. Такой кристалл является полупроводником (рис. 5.2, г). Для полупроводников e_g имеет значения порядка 0.1÷1 эВ.

Если же ширина запрещенной зоны e_g велика, то тепловое движение не сможет забросить в зону проводимости сколько-нибудь заметное число электронов. Такой кристалл будет диэлектриком (рис. 15.2, в). У диэлектриков e_g порядка 3÷6 эВ. Это достаточно большая величина, так что при температурах, сравнимых с комнатной, свободных носителей тока в диэлектрике практически нет.

Электропроводимость твердых тел.

Рас­смот­рим про­цес­сы, оп­ре­де­ляю­щие си­лу то­ка I в кри­стал­ле при дей­ст­вии элек­три­че­ско­го по­ля на­пря­жен­но­стью E. Под­виж­ные элек­тро­ны ус­ко­ря­ют­ся электри­че­ской си­лой и при­об­ре­та­ют до­ба­воч­ную к хао­ти­че­ско­му те­п­ло­во­му движе­нию ско­рость v, так на­зы­вае­мую дрей­фо­вую ско­рость, на­прав­лен­ную вдоль по­ля. Эта ско­рость ко­неч­на по ве­ли­чи­не, т.к. элек­тро­ны в сво­ем дви­же­нии сталкива­ют­ся с де­фек­та­ми и те­п­ло­вы­ми ко­ле­ба­ния­ми кри­стал­ли­че­ской ре­шет­ки. Ес­ли бы столк­но­ве­ний не бы­ло, то дей­ст­вие по­сто­ян­ной элек­три­че­ской си­лы ве­ло бы к не­ук­лон­но­му воз­рас­та­нию ско­ро­сти до бес­ко­неч­но­сти. Дрей­фу элек­тро­нов со ско­ро­стью vот­ве­ча­ет плот­ность элек­три­че­ско­го то­ка

, (5.2)

где n - концентрация электронов.

При не слишком сильных полях дрейфовая скорость электронов пропорциональна напряженности поля :

. (5.3)

Ко­эф­фи­ци­ент u_n на­зы­ва­ет­ся под­виж­но­стью элек­тро­нов. Он чис­лен­но ра­вен скоро­сти, при­об­ре­тае­мой элек­тро­на­ми в по­ле с еди­нич­ной на­пря­жен­но­стью, напри­мер, 1 В/м. Под­ста­вим (5.3) в (5.2):

, (5.4)

g=enu_n. (5.5)

Здесь g – удельная электропроводность кристалла, а соотношение (5.4) выражает закон Ома в дифференциальной форме. Величина, обратная электропроводности, есть удельное сопротивление кристалла:

. (5.6)

Для однородного проводника длины l и поперечного сечения S полное электрическое сопротивление равно

. (5.7)

У металлов и полупроводников наблюдаются принципиально различные зависимости их электрического сопротивления от температуры. Действительно, удельное сопротивление вещества определяется концентрацией n и подвижностью носителей заряда u_n (5.6).

Металлы.

В квантовой теории металлов движение электрона проводимости сквозь металл рассматривается как процесс распространения электронных волн де Бройля. Идеально правильная кристаллическая решетка, в узлах которой находятся неподвижные ионы, не должна рассеивать электронные волны. Электроны проводимости должны были бы проходить сквозь такую решетку свободно, без рассеяния в узлах. Такая решетка не оказывает сопротивления электрическому току. Рассеяние электронных волн и связанное с ним сопротивление проводника возникают, если в кристаллической решётке существуют центры рассеяния – искажения правильности решётки, размеры которых превосходят длину волны де Бройля. Центрами рассеяния являются главным образом флуктуации плотности, возникающие в результате тепловых колебаний узлов решётки. Рассеяние волн де Бройля на флуктуациях плотности является причиной электрического сопротивления чистых металлов.

Рассеяние волн де Бройля происходит также на дефектах кристаллической решётки и на атомах примеси. Именно поэтому сопротивление сплавов больше, чем чистых металлов.

В металлах концентрация свободных электронов практически не за­ви­сит от тем­пе­ра­ту­ры (5.1), а подвижность электронов изменяется обратно пропорционально температуре (u_n~ ), поскольку с повышением температуры из-за возрастания тепловых колебаний ионов увеличиваются неоднородности кристаллической решётки, на которых рассеиваются электронные волны де Бройля. Из (5.6)r_М~ ~Т, то есть удельное сопротивление r_м прямо пропорционально абсолютной температуре T. Таким образом, электрическое сопротивление металла увеличивается с ростом температуры, так как увеличивается рассеяние электронных волн де Бройля на неоднородностях кристаллической решетки в результате возрастания тепловых колебаниях ионов.Опыт показывает, что для не слишком широкого интервала температур (исключая очень низкие) зависимость r_м(Т) близка к линейной:

r_м=r₀(1+a×t), (5.8)

где t – температура металла в градусах Цельсия; r₀ – удельное сопротивление при 0°С; a – температурный коэффициент сопротивления. Естественно, что также зависит от температуры и полное сопротивление любого металлического образца, если он весь находится при температуре t (5.7):

R_м=R₀(1+a^.t). (5.8)

По экспериментальной зависимости R_м(t) можно определить a – температурный коэффициент сопротивления:

. (5.9)

Температурный коэффициент сопротивления численно равен относительному изменению сопротивления при повышении температуры на один градус (от 0⁰С до 1⁰С).