Теоретическое введение. Электроемкость уединенного проводника - это одна из его характеристик, которая показывает
Электроемкость уединенного проводника - это одна из его характеристик, которая показывает, какой заряд нужно сообщить данному проводнику, чтобы его потенциал изменился на единицу, и определяется по формуле:
, (3.1)
где C - емкость проводника; j - потенциал, который получил проводник при сообщении ему заряда q.
Электроемкость проводника зависит от его размеров, формы, наличия по соседству других проводников и от диэлектрической проницаемости среды.
Единицей электроемкости в системе СИ является 1 фарада - это электроемкость такого проводника, потенциал которого при сообщении заряда в 1 Кулон изменяется на 1 Вольт.
Конденсатором называется совокупность двух любых проводников с одинаковыми по абсолютному значению, но противоположными по знаку зарядами.
Емкость конденсатора определяется отношением заряда на одной из его обкладок к разности потенциалов между обкладками:
. (3.2)
В большинстве случаев форма обкладок конденсатора и их взаимное расположение подбирают таким образом, чтобы внешние поля существенно не влияли на электрическое поле между ними и силовые линии, начинающиеся на одной из обкладок, обязательно заканчивались на другой. Благодаря этому всегда обеспечивается равенство абсолютных значений зарядов на обкладках.
К простейшим типам конденсаторов относятся плоские, сферические и цилиндрические.
Рис.3.1 Рис.3.2 Рис.3.3 |
Емкость приведенных на рисунках 3.1–3.2 конденсаторов может быть рассчитана по формулам:
плоский конденсатор (рис. 3.1):
; (3.3)
сферический конденсатор (рис. 3.2):
; (3.4)
цилиндрический конденсатор (рис. 3.3):
(3.5)
Докажем формулу (3.4). Для вычисления разности потенциалов на обкладках конденсатора воспользуемся формулой связи напряженности электростатического поля и потенциала: ; или, то же самое в интегральной форме: . Интегрировать здесь будем по радиус-вектору, проведенному от внутренней обкладки к внешней. Вектор напряженности поля направлен радиально (в силу симметрии), тогда
. (3.6)
Напряженность поля между обкладками можно найти по теореме Остроградского-Гаусса (3.7), согласно которой поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченных поверхностью, деленной наεε0:
. (3.7)
В качестве Гауссовой поверхности в нашем случае следует взять сферу, концентрическую обкладкам, радиусом r: R1<r<R2. Из-за симметрии напряженность поля в любой точке сферы одинакова и совпадает по направлению с нормалью к поверхности в данной точке, и величину Е можно вынести из под знака интеграла в (3.7), а . В правой части (3.7) суммарный заряд, охваченный Гауссовой поверхностью, - это заряд внутренней обкладки, то есть заряд конденсатора q. Тогда
. (3.8)
Здесь учтено, что - площадь сферы. Выразив Е из (3.8) и подставив в (3.6), получим:
,
откуда с учетом (3.2) получается (3.4).
Аналогично докажем (3.5). В качестве Гауссовой поверхности здесь следует взять цилиндр, коаксиальный обкладкам цилиндрического конденсатора, радиусом r: r1<r<r2 и длиной l. Тогда из (3.7) получим:
.
Далее, из (3.6):
,
Откуда с учетом (3.2) получим (3.5).
Рис. 3.4 |
Конденсаторы характеризуются не только их электрической емкостью, но также и напряжением пробоя – такой минимальной разностью потенциалов обкладок, при которой происходит электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе.
В тех случаях, когда емкости одного конденсатора оказывается недостаточно, конденсаторы соединяют параллельно (рис.3.4). При этом напряжение на конденсаторах оказывается одинаковым: Ui=U. Общий заряд батареи
,
где n - общее число конденсаторов; qi - заряд i-го конденсатора. Емкость батареи конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. С учетом того, что из (3.2) заряд каждого конденсатора qi=CiUi, где Сi - емкость i-го конденсатора, а общий заряд q=CU,
,
и после сокращения:
(3.9)
Рис. 3.5 |
Последовательно конденсаторы соединяют в том случае, когда их нужно включить в цепь с напряжением выше того, на которое рассчитан отдельный конденсатор. При последовательном соединении конденсаторов (рис. 3.5) заряды на конденсаторах одинаковы: qi=q, а полное напряжение на батарее равно сумме напряжений:
.
С учетом (3.2) , , тогда получим:
,
и после сокращения:
, (3.10)
то есть величина, обратная емкости батареи, равна сумме обратных величин емкостей отдельных конденсаторов.
При последовательном соединении заряды на конденсаторах одинаковы, напряжение на них распределяется в зависимости от их емкостей, чем уменьшает возможность пробоя конденсатора.
Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 582;