Линейная независимость

Каждую строку матрицы А обозначим е_i = (a_i1 a_i2 …, a_in) (например,
е₁ = (a₁₁ a₁₂ …, a_1n), е₂ = (a₂₁ a₂₂ …, a_2n) и т.д.). Каждая из них представляет собой матрицу-строку, которую можно умножить на число или сложить с другой строкой по общим правилам действий с матрицами.

Линейной комбинацией строк e_l, e₂,...e_k называют сумму произведений этих строк на произвольные действительные числа:
e = l_le_l + l₂e₂ +...+ l_ke_k, где l_l, l₂,..., l_k - произвольные числа (коэффициенты линейной комбинации).

Строки матрицы e_l, e₂,...e_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа l_l, l₂,..., l_m, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
l_le_l + l₂e₂ +...+ l_me_m = 0, где 0 = (0 0...0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Действительно, пусть для определенности последний коэффициент l_m ¹ 0. Тогда, разделив обе части равенства на l_m, получим выражение для последней строки, как линейной комбинации остальных строк:
e_m = (l_l/l_m)e_l + (l₂/l_m )e₂ +...+ (l_m-1/l_m)e_m-1.

Если линейная комбинация строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. l_le_l + l₂e₂ +...+ l_me_m = 0 Û l_k = 0 "k, то строки называют линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые можно линейно выразить все остальные ее строки или столбцы.

Докажем эту теорему. Пусть матрица А размера m х n имеет ранг r (r(А) £ min {m; n}). Следовательно, существует отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий такой минор будем называть базисным. Пусть для определенности это минор

Строки этого минора также будем называть базисными.

Докажем, что тогда строки матрицы e_l, e₂,...e_r линейно независимы. Предположим противное, т.е. одна из этих строк, например r-я, является линейной комбинацией остальных: e_r = l_le_l + l₂e₂ +...+ l_r-1e_r-1 = 0. Тогда, если вычесть из элементов r-й строки элементы 1-й строки, умноженные на l_l, элементы 2-й строки, умноженные на l₂, и т.д., наконец, элементы (r-1)-й строки, умноженные на l_r-1, то r-я строка станет нулевой. При этом по свойствам определителя вышеприведенный определитель не должен измениться, и при этом должен быть равен нулю. Получено противоречие, линейная независимость строк доказана.

Теперь докажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любую строку можно выразить через базисные.

Дополним рассмотренный ранее минор еще одной строкой (i-й) и еще одним столбцом (j-м). В результате получим минор (r+1)-го порядка, который по определению ранга равен нулю:

Разложим его по элементам j-го столбца . Здесь последнее алгебраическое дополнение А_ij совпадает с базисным минором D ¹ 0 Þ А_ij ¹ 0. Поэтому можно разделить обе части последнего равенства на А_ij. Это позволит выразить из него элемент: .

Если зафиксировать номер строки (i), то получим, что для любого j элементы i-й строки линейно выражаются через элементы базисных строк: , т.е. любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных.

Теорема доказана.