Прямой и дополнительный коды целых чисел. Их представление в памяти компьютера, сложение и вычитание

В электронной памяти числа всех типов (логические, целые (беззнаковые и со знаком), вещественные) всегда занимают целое число байтов. Минимальный объем памяти, занимаемый одним числом, равен одному байту (8 битам).

В формате “беззнаковое целое число” запись положительного целого числа представляет собой его двоичный код, размещенный в байтах, отведенных для него. При этом в одном байте можно разместить двоичные коды всех положительных чисел от 0(00000000) до 2⁸–1= +255(11111111). Например, 00100010₂ = +34₁₀,11001100₂ = +204₁₀.

В формате “целое число со знаком” знак числа всегда задается в старшем разряде старшего байта: он равен 0 у положительных чисел и 1 у отрицательных. Остальные разряды записи заполняются в зависимости от типа кода. Основными являются прямой код и дополнительный.

Прямой код – это такое представление целого числа со знаком, в котором старший разряд старшего байта отводится под знак числа, а все оставшиеся разряды – под двоичную запись его абсолютной величины (модуля). Например, для однобайтового представления знак помещается в старшем разряде 7, а модуль – в разрядах с 0 по 6: 00001010₂ = +1010,10001010₂ = –1010.При этом диапазон значений охватывает от
(–127₁₀) =11111111₂ до(+127₁₀) =01111111₂.

Для общности прямым кодом беззнакового целого числа можно считать его двоичную запись. Сложение байтовых беззнаковых целых чисел производится по модулю числа 2⁸ =256. При этом единичные значения, возникающие в разряде 8, выходящем за состав байта, отбрасываются. Например:

10010110₂ +01110111₂ =100001101₂ =00001101₂ (mod 2⁸).

Это свойство используется у беззнаковых целых чисел для замены операции вычитания операцией сложения чисел по следующему правилу:

a – b (mod 2⁸) = a + (–b)(mod 2⁸) = a + (2⁸ – b)(mod 2⁸).

Выражение (2⁸–b) называют дополнительным кодом отрицательного числа (–b), соответствующего байтовому беззнаковому числу b. Его можно получить:

1) инвертированием двоичной записи всех разрядов числа b (при котором получается число вида 2⁸ – 1 – b) и последующим

2) прибавлением к нему 1, после чего получаем искомую величину
(2⁸ – b).

Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым.

Пример 5. Выполнить вычитание (10–37) байтовых беззнаковых чисел с использованием дополнительного кода. Найти результат в дополнительном коде, а также его модуль в прямом коде.

Решение. Прямой двоичный код беззнакового числа 10 равен 00001010₂. Прямой код числа 37 равен 00100101₂. Найдем его дополнительный код:

Инверсия всех разрядов: 11011010₂. Добавление единицы: 11011011₂.

Результат сложения: 00001010₂ +11011011₂ =11100101₂.

Так как большее число вычиталось из меньшего, ответ отрицательный. Для определения абсолютной величины ответа переведем его в прямой код.

Вычитание: 11100100₂. Инвертирование: 00011011₂.

Полученное значение модуля результата равно 27₁₀.

Ответ: а) 11100101₂, б) 00011011₂.

Пример 6. Выполнить вычитание (144–17) байтовых беззнаковых чисел с использованием дополнительного кода. Найти результат в дополнительном и прямом кодах.

Решение. Прямой двоичный код беззнакового числа 144 равен 10010000₂. Прямой код числа 17 равен 00010001₂. Найдем его дополнительный код:

Инверсия всех разрядов: 11101110₂. Добавление единицы: 11101111₂.

Результат сложения: 10010000₂ + 11101111₂ = 01111111₂.

Так как из большего числа вычиталось меньшее, ответ положительный. При этом результат получается в прямом коде, который совпадает с дополнительным. Полученное число равно 127₁₀.

Ответ: а) 01111111₂, б) 01111111₂.

Сложение байтовых целых чисел со знаком производится по модулю числа 2⁷ = 128(без учета старшего знакового разряда). При этом единичные значения, возникающие в знаковом старшем разряде 7, отбрасываются. Выражение (2⁷ – b) является дополнительным кодом отрицательного числа со знаком, равного (–b). Практически дополнительный код отрицательного числа со знаком (–b) получается следующим образом:

1) занесением в старший знаковый разряд 7 значения 1, означающего отрицательное число;

2) инвертированием двоичной записи всех разрядов числа b помимо знакового старшего (при котором в данных разрядах будет получена запись числа 2⁷ – 1 – b) и 3) прибавлением 1 к полученному в младших разрядах числу, после чего получаем в них искомую величину (2⁷ – b).

При сложении чисел с одинаковым знаком этот же знак присваивается и результату. При сложении чисел с разными знаками в качестве знака результата принимается знак большего по модулю складываемого числа. Например, вычитание целых со знаком чисел (96₁₀ – 22₁₀) можно представить в виде сложения прямого кода первого числа с дополнительным кодом числа (–22₁₀), причем знак результата совпадает со знаком большего по модулю первого числа. Учитывая, что дополнительный код числа
(–22₁₀) = 1101010₂, получим:

96₁₀ –22₁₀ =96₁₀ + (–22)₁₀ =01100000₂ +11101010₂ =01001010₂=74₁₀.

Двоичное 8-ми разрядное число со знаком в дополнительном коде может представлять любое целое в диапазоне от −128 до +127. Если результат вычитания является отрицательным числом, то он получается в дополнительном коде и для оценки модуля результата его переводят в прямой код.

Примеры байтового представления целых чисел со знаком:

Пример 7. Представить байтовое отрицательное число со знаком (−21) в а) прямом и б) дополнительном кодах.

Решение. Прямой код отрицательного числа со знаком (−21) равен его двоичной записи с единицей в старшем разряде: 10010101₂. Строим дополнительный код:

Инверсия его разрядов 0–6: 11101010₂.

Добавление единицы: 11101011₂.

Ответ: а) 10010101₂, б) 11101011₂.

Пример 8. Найти в дополнительном и прямом кодах результат вычитания (5–21) байтовых целых чисел со знаком с использованием дополнительного кода.

Решение. Из примера 7 берем дополнительный код отрицательного числа со знаком (−21): 11101011₂. Выполняя его сложение с прямым кодом положительного числа 5, получим дополнительный код итогового числа.

+11101011

Полученный дополнительный код переводим в прямой: Вычитание единицы: 11101111₂. Инверсия его разрядов 0–6: 10010000₂.

Получен прямой код отрицательного числа (–16).

Ответ: а) 11110000₂, б) 10010000₂.