Кривизна кривой

§1.Длина дуги кривой. Дифференциал длины дуги

В школе изучается понятие длины отрезка прямой, ломанной, составленной из конечного числа отрезков прямых, длина дуг окружности. Пользуясь этими понятиями можно дать определение длины произвольной кривой. Несколько слов о задании кривой: Всякую непрерывную кривую на плоскости можно представить как траекторию движения точки, в каждый момент времени t точка занимает положение в некоторой точке с координатами (х,у). При непрерывном движении точки ее координаты явл. непрерывными ф-ями от времени t: , £t£b. Здесь t явл. параметром и поэтому задание кривой назыв. параметрическим. При параметрическом задании линий параметр t может означать и другие величины: величину угла, массу, скорость и тп.

Например, , , задает окружность радиуса r, t означает углы.

y

M(x,y)

y t

x x

Параметрическое задание линий тем выгодно, что таким способом можно задать практически любые плоские линии. В то же время многие кривые явл графиками некоторых ф-ий у=f(х), но далеко не все. Ту же окружность нельзя задать никакой одной ф-ей, (тк каждому х будет соответствовать два у).

Для простоты будем считать, что кривая А явл графиком функции у=f(х) , определенной на [а,в].

Разобьем АВ на части (элементарные дуги) точками А1,А2,..Аn=В. Впишем в кривую АВ ломанную АА1А2...Аn-1В, соединив соседние точки деления отрезками прямых. Длина этой ломаной Р. Каждому разбиению соответствует своя ломанная с длиной Р. С увеличением разбиения и измельчением дуг ломанная все теснее прижимается к кривой.

Определение: длиной кривой АВ назыв. конечный предел S, к которому стремится периметр Р вписанных ломанных, когда длина всех звеньев ломанной стремиться к нулю: S=lim_m®0Р, m-наибольшая из длин отрезков ломанной. В случае сущ-ия предела S, т.е. длины кривой, кривая назыв спрямляемой. Если предел равен бесконечности или не сущ-ет, то кривая назыв неспрямляемой.

Справедливо св-во аддитивности: если кривая АВ спрямляемая, и C-некоторая точка на ней, то S= . И наоборот, если АС и АВ спрямляема, то спрямляемы и АВ и дуга АВ= .

Удобный способ вычисления длины дуги будет дан в интегральном исчислении. Дадим теперь понятие дифференциала длины дуги.

Пусть кривая АВ есть график непрерывной функции у=f(х) и примем т.А за начало отсчета. Положение переменной точки М на АВ может быть определено заданием дуги АМ, которая сама зависит от координаты х точки М, те дуга АМ=S(х)- длина дуги АМ есть функция абсциссы т.М. Определим дифференциал dS этой функции- дифф-ал длины дуги.

y Q T

dy

B

M

A K

0 a x x+ x

Сначала найдем производную функции S(х). Дадим аргументу х приращение Dх, тогда функция S(х) получит приращение DS=длина дуги ММ'.

Найдем lim_х®0DS/Dх. Для этого соединим М и М' хордой ММ'. Из треуг ММ'К им. ММ'²=(Dх²)+(Dу²). Домножим и разделим левую часть на DS². Разделим все части равенства на (Dх²). .

Перейдем к пределу при Dх®0, тогда ММ'®0. Очевидно (это можно и строго доказать) lim _ММ'®0М /DS=1, lim _{Dх ®0}Dу /Dх=dу/dх, lim _{Dх ®0}DS/ Dх=dS/dх.

Поэтому (dS/dх)²=1+ (dу/dх)². Или dS/dх= .

Отсюда и получаем dS= *dх, (1)-ф-ла диф-ла длины дуги.

(1) можно переписать в виде dS= , те

dS= , (1').

Из ф-лы (1') отчетливо виден геометрический смысл диф-ла длины дуги dS. Если провести касат МТ в т.М, то из треуг-ка МQК видно, что МQ= , те диф-ал длины дуги равен длине отрезка касательной МQ к графику в т.М.

Ф-ла (1') получена для случая , когда кривая явл. графиком функции у=f(х). Оказывается , что (1') справедлива и когда кривая АВ задается параметрически.

, £t£b. Тогда dх=j'(t)dt, dу=f'(t)dt, и поэтому получаем

dS= , (2).

Если кривая (АВ) задана в полярных координатах уравнением r=r(j), a£j£b, причем, ф-ия r(j) непрерывная на [a,b], то и в этом случае из ф-лы (2) получим выражение dS. Перейдем от полярного задания к параметрическому, считая за параметр угол j, тогда .

Тогда , тогда

Поэтому (3)

§2.Кривизна плоской кривой. Ее вычисление

Рассмотрим произвольную непрерывную кривую АВ., которая не имеет точек самопересечения. Если в каждой ее точке М провести касательную, то она при перемещении т.М от А к В будет поворачиваться.

Этим кривая отличается от прямой, где касательная всегда направлена одинаково, а именно: сливается с прямой.

Чем быстрее поворачивается касательная, тем больше искривлена кривая линия, тем больше ее "кривизна".

Дадим математическое определение кривизны кривой. Рассмотрим произвольную дугу ММ1, в точках М и М1 проведем касательные. Пусть угол между ними Da, он назыв углом смежности, дугаММ1=DS. Тогда отношение Da/DS назыв. средней кривизной кривой АВ на участке ММ1. Средняя кривизна показывает величину угла поворота касательной при перемещении точки М на единицу длины по кривой. На разных участках кривой средняя кривизна меняется. Лишь для одной кривой - окружности средняя кривизна постоянна: к_ср=Da/DS=Da/(RDa)=1/R, те для окружности кривизна есть величина обратная радиусу.

Для точной характеристики искривленности кривой вводят понятие кривизны в точке, обозначают К.

Определение:

Кривизной кривой в т.М назыв предел (если он сещ-ет), к которому стремится сред кривизна дуги ММ1, когда т.М1 по кривой стремится к М.

К=lim_DS®0D /Ds, (1). Для окружности К=1/R.

Предел (1) есть не что иное как производная угла наклона касательной по длине дуги, а потому последний предел есть предел отношения приращения функции к приращ аргумента, т.е. производная: К=da/dS, (2).

Таким образом, кривизна кривой в точке есть производная угла наклона касательной по длине дуги кривой. Кривизна есть число неотрицательное, поэтому на самом деле К=| da/dS|, (2').

Из ф-лы (2) кривизны получим удобную на практике ф-лу, когда кривая задается параметрически.

Предполагаем дополнительно, что функции j(t) ,f(t) имеют непрерывные производные 1и 2 порядков и xt'=j'(t)¹0 при t соответствующем т.М.

Тогда dS= , определим da.

tga=у_х'=у_t'/х_t', отсюда a=arctg у_t'/х_t',

da= , подставляя dS, da в (2') получим К=| |, (3).

Если кривая задана явным уравнением у=f(х) считаем параметр t=х, тогда и К=| |, (4).

Если кривая задана полярным уравнением r=r(j), то считая t=j получим подставляя в (3) получим К=| |, (5)

Пример. Определить кривизну кривой у=sinх в т.х=П/2 -САМОСТОЯТЕЛЬНО.

Ответ: K=1.

§3.Радиус, круг и центр кривизны. Понятие эволюты и эвольвенты.

Определение: величина R, обратная кривизне кривой К в точке, назыв радиусом кривизны кривой в этой точке: R=1/К. Для прямой радиус кривизны равен бескон-ти, те прямая -это окружность бесконечного радиуса.

Для окружности радус кривизны- это ее обычный радиус, Для кривых, заданных в параметрической форме или явными уравнениями у=f(х) или r=r(j) радиус кривизны находится по формулам легко получаемых из (3)-(5). Так для у=f(х) R=1/К= , и т.п.(самим).

Построим в т.М кривой нормаль к ней и отложим в сторону вогнутости отрезок МС=R.

Точка С назыв центром кривизны в данной т.М, круг (окружность) с центром С и радиусом R назыв кругом (окружностью) кривизны линии в т.М. В т.М кривая и окружность кривизны им одинаковую кривизну К, поэтому дугу кривой вблизи М с малой ошибкой можно заменять дугой окружности кривизны в этой точке.

Каждой точке М кривой (L) соответствует своя точка С- центр кривизны в т.М.

Геометрическое место центров кривизны кривой (L) называется ее эволютой (L'). (L')-есть тоже некоторая кривая. По отношению к (L') исходная кривая (L) называется эвольвентой или разверткой. Существуют формулы , позволяющие по данному уравнению кривой (L) написать уравнение эволюты. И наоборот.

Практически эволюту по данной кривой можно построить так. Можно доказать, что каждая нормаль к кривой (L) явл. касательной к эволюте. Поэтому построив достаточное кол-во нормалей проводим к ним кривую, которая касается всех этих нормалей- огибающую семейства нормалей.

Эвольвенту по эволюте можно построить механическим способом.

Пусть гибкая линейка согнута по виду эволюты С₀С. Прикрепим к концу С₀ нить и туго натянем на линейку.

C

эволюта

C0

эвольвента

Если теперь эту нить развертывать, натягивая ее все время за свободный конец, то он опишет кривую, которая будет эвольвентой кривой С₀С. Т.к. нити могут иметь разную длину, то эвольвент у одной эволюты может быть сколько угодно.