Вычисление длины кривой.

Разделим кривую произвольными точками на участки. Соединим соседние точки отрезками прямых. Получим ломаную B

, которую называют вписанной в кривую . Её

длину будем обозначать — периметр вписанной ломаной:

. Длиной кривой называют конечный предел , A

к которому стремится периметр вписанных в неё прямых, когда длина наибольшего из звеньев ломаной стремится к нулю:

Получим формулы длины кривой при различном задании этой

кривой: в прямоугольных координатах, в параметрической форме B

и в полярных координатах.

a) Пусть кривая задана в прямоугольных координатах уравнением A

, причём на и -- непрерывны (кривая 0 является графиком функции на ). Поступим следующим образом: разобьём кривую

на частей точками . Пусть точки деления имеют абсциссы . Соединим соседние точки кривой хордами , получим вписанную ломаную, длина которой . На каждой

хорде (как на гипотенузе) построим прямоугольный треугольник с

катетами и . Тогда длина - й

хорды будет или . По формуле

Лагранжа имеем: , где . Тогда и потому .

Перейдём к пределу в этом равенстве при , тогда тем более, и потому:

Так как — произвольная точка, то справа стоит предел интегральной суммы для непрерывной функции (она непрерывна, т.к. непрерывна по условию ), а потому этот предел существует и есть определённый интеграл . Слева же стоит предел длин вписанных ломаных, а он равен по определению длине кривой. Таким образом, получаем:

(1)

(1) короче можно переписать в виде . Так как , то

— дифференциал длины дуги.

Формулу , а , значит, и можно записать теперь в виде:

или , где А и В – начало и конец кривой АВ. 4 M(2,4)

Пример. Найти длину дуги параболы от ( ) О (0,0) до ( ) М (2,4).

Решение: O(0,0) 2

Привели интеграл к «самому себе». Окончательно имеем:

b) Пусть кривая АВ задана в параметрической форме: , , причём функции и и их производные и непрерывны на и Параметрически заданные функции определяют некоторую функцию на , причём Тогда согласно пункту (1)

Cделаем замену переменной в этом интеграле: Тогда Как известно, , поэтому или (2)

Учитывая, что , , — дифференциал длины дуги в параметрической форме, то формулу (2) снова можно записать:

Пример. Найти длину окружности радиуса .

Решение. Окружность в параметрической форме (центр в начале координат) задастся: , .

Тогда

Замечание. Если дана пространственная кривая АВ параметрическими уравнениями:

причём функции и их производные непрерывны на , то длина кривой

, определяется как предел длин вписанных ломаных при и имеет

место аналогичная формула:

(без доказательства).

c) Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением , причём функция непрерывна на . Сведём задание в полярных координатах к параметрическому, роль параметра играет полярный угол : , или , .Тогда . Имеем: . Тогда

Таким образом, Если писать короче: то окончательно получим:

(3)

Пример. Вычислить длину первого витка спирали Архимеда: .

Решение. . (Вычислить самостоятельно, интегрируя по частям и приводя интеграл к самому себе).

§4. Вычисление поверхности тела вращения.

Если вращать кривую АВ: около оси OX, B

то получим поверхность (S) — поверхность вращения.Как A

найти площадь S этой поверхности ? Разобьём на

элементарные точками .

Проведём через них поперечные сечения. Они разобьют

тело на слоёв. Заменим каждый слой усечённым конусом с теми же основаниями и той же высотой . Радиусы оснований будут и , длина образующей .Тогда боковая поверхность - го конуса будет: , и поверхность ступенчатой фигуры

.

Переходя к пределу при , получим площадь поверхности (S):

, итак,

Пример. Вычислить поверхность сферы радиуса .

Решение. Сфера получается вращением полуокружности около оси OX. Поэтому имеем: и