Вычисление площади плоской фигуры.

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.

Вычисление площади плоской фигуры.

Определённый интеграл позволяет вычислять площади самых различных плоских фигур.

1.В прямоугольной системе координат XOY. За основную фигуру здесь принимается криволинейная трапеция, так как её площадь выражается одним

определённым интегралом. B

а) мы видим, что если на [a, b], то ; A

b) если непрерывна и на [a, b], то имеем также . 0

По абсолютной величине он равен площади соответствующей криволинейой

трапеции , т.е. - эта формула справедлива в B

обоих случаях а) и b). A

c) непрерывна и несколько раз пересекает ось OX. Этот случай сводится к двум рассмотренным и b). в этом случае даёт разность

площадей, лежащих выше и ниже оси OX. Чтобы найти

площадь заштрихованной фигуры, нужно учесть знаки:

или

d) На [a, b] определены две непрерывные функции и , причём .

0

,

Нужно заметить, что эта формула справедлива при любом расположении кривых и

, лишь бы .

Замечание 1. Если контур фигуры состоит из кусков, задаваемых

разными фигурами, то фигуру разбивают на части рассмотренного

вида прямыми, параллельными координатным осям. Тогда

(см. рис.) .

Замечание 2. Все формулы и их обоснование верны и в том C

случае, когда имеем дело с криволинейными трапециями, основания

которых на оси OY, и они ограниченны кривыми , так, D

например: 0

Пример. Вычислить площадь параболического сегмента, ограниченного A 2 B

параболой и прямой .

Решение. Найдём координаты точек пересечения кривых A и B.

=> => . 0

Тогда:

2. Параметрическое задание линий контура фигуры.

Пусть кривая AB, ограничивающая криволинейную трапецию aABb, A B

задана в параметрической форме: , , причём

и . 0

Тогда на эти параметрические уравнения определяют некоторую функцию и по 1 пункту имеем: .

Сделаем замену переменной в этом интеграле: . Тогда , и мы получим: или

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом:

, . 0

Решение. В силу симметрии эллипса вычислим площадь одной четверти эллипса (в 1 - ой четверти) и умножим на 4, при этом t будет меняться от t = до 0( ).Поэтому: Тогда

3. Площадь фигуры в полярной системе координат. A

Если контур, ограничивающий фигуру, задан в полярной

системе координат, то в качестве основной фигуры берут

криволинейный сектор — фигуру, ограниченную двумя

полярными радиусами и и непрерывной кривой B

Найдём площадь этого сектора. 0

Разобьём на части точками и проведём соответствующие этим углам полярные радиусы. Тогда весь сектор разобьётся на n элементарных секторов. Заменим каждый элементарный криволинейный сектор круговым с

радиусом где -- произвольная точка на . Площадь кругового сектора радиуса с центральным углом равна . Поэтому площадь полученной ступенчатой фигуры из круговых секторов будет равна: здесь .

Чем мельче дробление, тем ближе ступенчатая формула подходит к криволинейному сектору, потому за площадь криволинейного сектора естественно принять предел площади ступенчатой фигуры, когда :

, но этот предел есть неопределённый интеграл. Поэтому:

или

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одним витком

спирали Архимеда и полярной осью.

Решение.

.

Замечание. В случае, указанном на рисунке:

.

0

§2. Вычисление объёмов некоторых видов тел.

Рассмотрим несколько случаев.

a) Тело ( ) есть прямой цилиндр, основанием которого является S

фигура ( ), – высота. Будем рассматривать все возможные вписанные

в основание многоугольники ( ) и на каждом из них строим вписанную

в цилиндр прямую призму. При измельчении сторон многоугольников H

( ) прямые призмы всё теснее прижимаются к цилиндру. Поэтому

естественно принять за объём цилиндра предел, к которому

стремятся объёмы вписанных призм при и

длине сторон, стремящейся к нулю. Но при этом и потому . Таким образом, объём прямого цилиндра .

b) Пусть дано тело ( ), ограниченное замкнутой поверхностью, а слева и справа плоскостями и .

Известна площадь любого его сечения, произведённого плоскостью, перпендикулярной к оси (поперечное сечение тела ( )).

Можно считать, что площадь любого поперечного сечения

является функцией от ( — абсцисса точки

пересечения плоскости с осью ), .

Будем предполагать тело ( ) таким, что функция

непрерывна на .

Для определения объёма такого тела рассуждаем следующим 0

образом: разобьём на элементарные точками

и через них

проведём поперечные сечения. Тело ( ) разобьётся на слоёв. Каждый - й слой (см. рис.) заменим прямым цилиндром с той же высотой и основанием , — произвольная точка на . Объём - ого прямого цилиндра . Тогда объём ступенчатого тела(из прямых цилиндров) будет: .

Перейдём к пределу при . С одной стороны это будет объём данного тела ( ), а с

другой — это предел интегральной суммы для непрерывной функции на , т.е. . Таким образом, имеем: .

Это формула объёма тела по известным площадям поперечных сечений.

с) Пусть тело ( ) есть тело вращения. Оно получается вращением

около оси криволинейной трапеции , ограниченной

сверху графиком непрерывной функции . Такое тело B

полностью удовлетворяет пункту b). Причём, площадь любого A

поперечного сечения (как круга радиуса )

— непрерывная функция от . Тогда: 0

или .

Это и есть формула объёма тела вращения (около оси ).

Если криволинейная трапеция ограничена двумя кривыми и , и на , то очевидно:

Совершенно аналогичными рассуждениями можно получить объём

тела вращения около оси , если вращается непрерывная кривая D

. Тогда:

C

0

Пример. Найти объём шара радиуса .

Решение. Шар можно рассматривать как тело вращения: полукруг

(заштрихован) вращается около оси . Полукругограничен другой

окружностью , поэтому: