Горизонтальные асимптоты (перпен оси оу)

Если сущ-ет lim_х_®₊_¥f(х)=А конечный или lim_х_®_-_¥f(х)=В- конечный или одновременно, то прямая у=А или у=В или одновременно обе будут горизонтальными асимптотами для кривой у= f(х), т.к. lim_х_®₊_¥d= lim_х_®₊_¥ (f(х)-А)=А-А=0. Аналогично для другой

Пример.

У=(1,2)^х. lim_х_®_-_¥ (1,2)^х =0. у=0, те ось ох есть горизонтальная асимптота.

Нужно проверять и при х®¥ и при х®-¥, тк могут быть две горизонтальные и разные.

Как для у=arctg x, у=П/2, у=-П/2.

3.Наклонные асимптоты ( не параллельные оси оу).

Пусть кривая у= f(х) им. наклонную асимптоту У=кх+в. Возьмем на кривой произвольную точку М(х,у).

Из треугольника MNP видно, что d=МР*cosa=(у-У)* cosa.

a=const, поэтому условие d®0 равносильно условию у-У®0,те lim_х_®_¥(у-У) или lim_х_®_¥(f(х)-кх-в)=0, (1).

Условие (1) явл. необходимым и достаточным для того, чтобы прямая у=кх+в была наклонной асимптотой для кривой у= f(х). Как найти к и в по функции у= f(х)?

Из (1) следует lim_х_®_¥((f(х)-кх-в))/х=0 или lim_х_®_¥(f(х)/х-к)=0, тк в/х®0 при х стрем. к бесконечности.

Но тогда к= lim_х_®_¥f(х)/х, (2). Из (1) следует, что в= lim_х_®_¥(f(х)-кх), (3).

Зная к и в находим уравнение наклонной асимптоты у=кх+в.

Совершенно аналогично находится наклонная асимптота при х стрем к минус бесконечности, справедливы те же ф-лы (1)-(3) с заменой х®¥ на х®-¥. Проверять нужно оба случая, т.к. возможны две разные асимптоты для двух бесконечных ветвей функции.

Замечание:

1)при к=0 , lim_х_®_±_¥f(х)=в, те получаются горизонтальные асимптоты. Поэтому можно искать сразу наклонные асимптоты. Горизонтальные получаются при этом автоматически (если они есть), 2)при к=¥ или в=¥ наклонных асимптот нет.

Пример. f(х)=1/х+х. Найти асимптоты. Х=(-¥,0)+(0, ¥).

1)Вертикальные асимптоты могут быть лишь в т.х=0- она граничная и явл точкой разрыва lim_х_®_0-0(1/х+х)= -¥, lim_х_®₀₊₀(1/х+х)= ¥. Значит х=0- вертикальная асимптота.

2)Наклонные асимптоты У=кх+в.

к= lim_х_®_¥f(х)/х= lim_х_®_¥(1/х²+1)=1, к=1,

в= lim_х_®_¥(1/х+х-1х)=0, в=0,

у=х- наклонная асимптота.

При х®-¥ получим тоже к=1, в=0, т.е. ту же асимптоту у=х.

§6.Полное исследование функции и построение ее графика

Обычно при построении графика функции у=f(х) используют метод построения по точкам, когда из области определения берут несколько значений аргумента х1,х2...х_n, вычисляют соответствующие значения функции у1,у2...у_n, строят точки (х1,у1), (х2,у2), …,( х_n, у_n) и соединяют их плавной кривой. В простых случаях полученная линия достаточно точно изображает настоящий график функции у=f(х). Но если функция f(х) им. особенности, разные возрастания и убывания, разрывы и т.п., то полученный чертеж может быть далек от истины.

Для построения точного графика нужно знать его особенности. Это позволяет сделать дифференциальное исчисление. Суть метода в том, что находят характерные опорные точки графика (а не случайные) и соединяют их с учетом особенностей его, а не просто плавной кривой линией.

Для исследования функции и построения графика нужно проделать следующую работу:

-определить область существования функции. Это сразу выявит т.е. значения аргумента, над которыми кривая графика проходит и над какими нет,

-исследовать ф-ию на периодичность, четность, нечетность Это позволит (если функция обладает этими св-ми) строить график лишь в части обл. сущ-ия, а в другой достроить его автоматически,

-исследовать ф-ию на непрерывность, определить ее точки разрыва,

-найти экстремумы функции и участки ее возрастания и убывания,

-определить точки перегиба функции, участки выпуклости и вогнутости графика,

-найти асимптоты графика,

-определить точки пересечения графика с осями координат,

-исследовать ф-ию около точек границы ее области сущ-ия,

-если ход графика в отдельных местах недостаточно ясен, взять несколько дополнительных точек.

Для удобства результаты заносят в таблицу вида

х
у
особенности

Полученные опорные точки из таблицы переносят на плоскость и соединяют с учетом всех особенностей функции. В некоторых случаях для удобства по осям берут разные масштабы.

Пример полного исследования функции и построение графика.

Построить график функции у=f(х)= .